Федосов Борис Трофимович
РИИ, Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

О детализации структуры модели нелинейной инерционной системы

  1. Кратко о функциональном ряде Вольтерра
  2. Детализация структуры модели нелинейной системы
  3. Пример модели умножителя частоты
  4. Выводы
  5. Приложения
  6. Литература
  7. Добавление

При анализе линейных систем управления широко используются передаточные функции и их частный случай – комплексные коэффициенты передачи, чаще в виде частотных характеристик, для аналитического и численного исследования систем. Описание нелинейных систем на основе функциональных рядов Вольтерра [1-5] приводит к многомерным передаточным функциям, изображениям т.н. ядер ряда Вольтерра. Можно предположить, что если моделирующая программа позволит определять эти изображения, исключая кропотливый труд по выводу формул ядер, и позволит наглядно представлять в графической форме обобщенные частотные характеристики, то аппарат анализа на основе рядов Вольтерра получит более широкое признание.

Зачастую, ввиду сложности анализа системы с нелинейностью общего вида, он проводится тогда, когда нелинейность является существенной. Метод ряда Вольтерра позволяет исследовать системы с мягкими инерционными нелинейностями и может занять промежуток между методами анализа линейных систем и методами анализа нелинейных систем с существенными нелинейностями.

Ниже, на основе аппарата рядов Вольтерра, доказывается теорема о представлении нелинейной системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением довольно общего вида, в виде последовательно-параллельного соединении линейных и нелинейной инерционной частей.

1. Кратко о функциональном ряде Вольтерра

Пусть имеется нелинейная система с одним входом и одним выходом, описываемая оператором:

(1)

y(t) = N{x(t)},

здесь: x(t) – входной сигнал системы;
y(t) – выходной сигнал системы;
N{} – нелинейный оператор.

Тогда, при довольно слабых требованиях, предъявляемых к виду оператора, выходной сигнал системы может быть представлен в виде [1, 5, 6]:





(2)

gif-file, 20KB,

здесь qk1, τ2, …, τk) – ядро ряда Вольтерра k-й степени, k-мерная весовая функция. Как видно, ряд Вольтерра является обобщением интеграла свертки, широко используемого в теории линейных систем. В результате такого представления оператора, можно построить модель системы в виде параллельного соединения звеньев, соответствующих каждому из слагаемых ряда. Вопросы сходимости ряда анализируются, например, в [5], скорость сходимости определяет число звеньев, достаточных для моделирования системы с требуемой точностью. Ясно, что чем меньше абсолютная величина x(t), тем меньше членов потребуется.

Если применить к каждому ядру преобразование Лапласа соответствующего порядка, то схема примет вид параллельного соединения звеньев с многомерными передаточными функциями [5]:

gif-file, 20KB

Рис. 1. Модель нелинейной системы в виде параллельной структуры звеньев с многомерными передаточными функциями. W(s) – передаточная функция линейной части системы

2. Детализация структуры модели нелинейной системы

Рассмотрим нелинейную систему, описываемую дифференциальным уравнением общего вида, моделирующим широкий класс систем и объектов:

(3)

L[ y(t)] + D( y, y', y'', …, y(n)) = x(t) ,

где: x(t) – воздействие на систему;
y(t) – реакция системы;
L[ y(t)] – линейный оператор;
D( y, y', y'',…, y(n)) – нелинейная, гладкая, дифференцируемая функция. Предполагается, что D(.) не содержит линейные члены, они учтены в L[.].

Сформулируем и докажем теорему, позволяющую детализировать структуру системы, описываемой дифференциальным уравнением (3).

Теорема. Ядра ряда Вольтерра системы, описываемой уравнением (3), можно представить в виде:

(4)

W1(s) = L-1(s)

и

(5)

gif-file, 20KB,

где: L-1(s) = W(s) – оператор, обратный оператору L(s), передаточная функция линейной части системы.

Доказательство: В соответствии со схемой рис.1 представим реакцию системы в виде:

(6)

y(t) = y1 + y2 + y3 + ... ,

здесь:
y1 = y1(t) – реакция линейной части системы;
y2 = y2(t) – реакция нелинейного элемента второго порядка и т.д.

Разложим в кратный ряд Тейлора функцию D( y, y', y'', …, y(n)):

(7)

gif-file, 20KB,

где коэффициенты в суммах находятся дифференцированием D(.) по соответствующим аргументам.

Подставим компоненты решения (6) в (7), а результат в (3). Для определения первого ядра приравняем в полученном уравнении члены первого порядка:

(8)

L[ y1] = x(t) .

Отсюда

(9)

y1(t) = L-1[x(t)] ,

или, в операторной форме:

(10)

Y1(s) = L-1(s) X(s) = W(s) X(s) .

Поэтому, изображение первого ядра, т.е. передаточная функция линейной части системы, будет равно:

(11)

W1(s) = W(s) = L-1(s) .

Сгруппируем и приравняем в члены второго порядка:

(12)

gif-file, 20KB.

Поскольку Y1(s) = L-1(sX(s), а по теореме о последовательном соединении нелинейной и линейной частей [2, 4, 6] (см. приложение) изображение результата действия линейного оператора на компоненту решения второго порядка имеет вид:

(13)

L[ y2] → L(s1 + s2) Y2(s1, s2) ,

то


(14)

gif-file, 20KB.

Отсюда

(15)

Y2(s1, s2) = L-1(s1) L-1(s2) G2(s1, s2) L-1(s1 + s2) X(s1) X(s2) ,

где

(16)

gif-file, 20KB.

Из (15) и (16) следует

(17)

W2(s1, s2) = L-1(s1) L-1(s2) G2(s1, s2) L-1(s1 + s2) ,

или, в других обозначениях:

(18)

W2(s1, s2) = W1(s1) W1(s2) G2(s1, s2) W1(s1 + s2) .

Изображение G2(s1s2) инерционно-нелинейной компоненты можно назвать ядрышком второго порядка.

Из (18) следует, что структурную схему ветви второго порядка системы, описываемой (3), можно представить в виде:

gif-file, 20KB

Рис. 2. Структура модели нелинейной компоненты второго порядка, порождаемой уравнением (3). Ядро дважды осуществляет линейное преобразование: до нелинейного и после него

Т.о. составляющая второго порядка выходного сигнала обязательно является результатом линейного преобразования выходного сигнала ядрышка G2(s1s2).

Двумерная передаточная функция G2(s2s1), совершающая нелинейное преобразование второго порядка, определяется частными производными второго порядка функции D(.) и операциями дифференцирования – см. (7) и (16).

Далее доказательство проведем по индукции.

Пусть передаточная функция k-1 порядка для k > 2 имеет вид:


(19)

gif-file, 20KB.

Группируя и приравнивая члены k-го порядка, получим:

(20)

gif-file, 20KB.

В (20) берется сумма всех тех произведений компонент решения (6) и их производных, сумма нижних индексов которых равна r1 + r2 + … + rr = k. Индексы r1, r2, …, rr могут принимать значения от 1 до (k-1). Значения индексов j1, j2, …, jr (степеней производных) меняются от 0 до n каждое. Поскольку по условию задачи разложение Dyy', y'', …, y(n)) начинается с членов второго порядка (6), то в произведениях суммы уравнения (20) присутствуют лишь отклики yi(j) с порядком, меньшим k (i < k). Это значит, что k-я компонента решения yk выражается из (20) только через младшие компоненты.

Сгруппируем компоненты k-й степени с учетом того, что изображения младших ядер отвечают (19):





(21)

gif-file, 20KB

Поскольку каждая передаточная функция вида Wrm(srrr(m-1)+1srrr(m-1)+2, …, srm) содержит в соответствии с (19) в качестве сомножителя произведение gif-file, 20KB и сумма индексов r1 + r2 + … + r(m-1) + rm + ... + rr равна k, то каждое слагаемое суммы в (21) содержит произведения gif-file, 20KB и gif-file, 20KB которые могут быть вынесены за скобки. Поэтому


(22)

gif-file, 20KB,

где:



(23)

gif-file, 20KB

Наконец, из (22) видно, что


(24)

gif-file, 20KB.

Теорема доказана.

gif-file, 20KB

Рис. 3. Структура изображения ядра n-го порядка

Как видно на рис. 3, алгоритм преобразования сигнала компонентой схемы n-го порядка состоит в том, что вначале входной сигнал фильтруется линейной частью системы, затем следует нелинейное инерционное преобразование, продукты которого вновь фильтруются линейной частью. Нелинейное инерционное преобразование определяется (23) и состоит из комбинации безинерционных операций возведения в степень и перемножения сигналов, прогнозирующей операции дифференцирования и инерционной операции линейного преобразования сигнала, определяемой переходной функцией линейной части системы.

Из доказанной теоремы следует, что схема рис. 1 может быть детализирована следующим образом:

gif-file, 20KB

Рис. 4. Детализация структуры системы, описываемой уравнением (3). Выходной сигнал является результатом фильтрации линейной частью системы как входного сигнала, так и продуктов его нелинейного преобразования. На инерционную нелинейность входной сигнал системы поступает после предварительной его фильтрации линейной частью системы

3. Пример модели умножителя частоты

Рассмотрим упрощенную схему умножителя частоты на нелинейной емкости и определим структуру ее модели и выражения для передаточных функций.

gif-file, 20KB

Рис. 5. Схема умножителя частоты

Схема рис. 5 описывается уравнением:

(25)

gif-file, 20KB,

здесь:

(26)

gif-file, 20KB.

Представим напряжение на конденсаторе в виде u = u1 + u2 + u3 + … и подставим в (25) и в (26):



(27)

gif-file, 20KB

Приравняем члены первого порядка:

(28)

RC0 u'1 + u1 = uвх .

Линейное уравнение первой степени приводит, естественно, к передаточной функции апериодического звена:


(29)

gif-file, 20KB,

где: Т = RC0.

Выберем члены второго порядка, учитывая, что справа в (27) они отсутствуют:

(30)

RC0 u'2 + RC1 u'1 u1 + u2 = 0 .

Отсюда, применяя преобразование Лапласа:

(31)

(s1 + s2) RC0 U2(s1, s2) + RC1 U1(s1) s2 U1(s2) + U2(s1, s2) = 0 ,

что приводит к

(32)

gif-file, 20KB.

Поскольку U2(s1s2) = W2(s1s2Uвх(s1Uвх(s2), U1(s) = W1(sUвх(s) и gif-file, 20KB (т.е. 2s2 W(s1W(s2) = 2s1 W(s1W(s2) = (s1+s2W(s1W(s2) ), то

(33)

W2(s1s2) = (s1 + s2) W1(s2) W2(s2) G2(s1s2) W1(s1s2) ,

где

(34)

G2(s1s2) = -0,5 RC1 .

Аналогично, преобразованием уравнения для членов третьего порядка, находится передаточная функция третьей степени. Получаем:

(35)

gif-file, 20KB,

где:



(36)

gif-file, 20KB.

Анализ полученных ядер позволяет построить структурно-алгоритмическую модель умножителя.

gif-file, 20KB

Рис. 6. Структура модели умножителя частоты

Как видно на рис. 6, ряд Вольтерра представляет инерционную нелинейность в виде отдельных операций возведения в степень, перемножения сигналов, умножения сигналов на коэффициент и инерционной операции, определяемой линейной частью системы, а также операции дифференцирования.

gif-file, 20KB

Рис. 7. Выходной сигнал умножителя содержит вторую гармонику. Она получена преобразованием входного гармонического сигнала компонентой схемы с передаточной функцией второго порядка

Выводы

Детализация структуры нелинейной системы, описываемой уравнением (3) позволяет наглядно представить преобразование сигналов. Инерционная нелинейность моделируется отдельными безинерционными операциями возведения в степень, перемножения сигналов, умножения сигналов на коэффициент и инерционной операции, определяемой линейной частью системы, а также операциями дифференцирования.

Многомерные передаточные функции, описывающие поведение и свойства нелинейных инерционных систем и объектов являются естественным обобщением одномерных передаточных функций, эффективно применяемых для описания и анализа линейных систем. Можно ожидать, что развитие методов анализа многомерных передаточных функций нелинейных систем позволит сделать более эффективными анализ и синтез систем с мягкими нелинейностями, а также включить аппарат рядов Вольтерра в качестве одного из инструментов моделирующих программ.

Приложения

П1. Теоремы о последовательном соединении линейной и нелинейной (с ядром k-го порядка) систем

gif-file, 20KB

Рис. П1. Передаточная функция последовательного соединения систем первого и k-го порядков

gif-file, 20KB

Рис. П2. Передаточная функция последовательного соединения систем k-го и первого порядков

П2. Об ассоциации переменных

Обратное многомерное преобразование Лапласа многомерного выходного сигнала нелинейной системы приводит к сигналу, являющемуся функцией n переменных t1, t2, …, tn. Но сигнал является функцией только одного времени. Поэтому после обратного преобразования названные переменные отождествляют (приравнивают). Известен [4] т.н. метод ассоциации переменных, который позволяет, учитывая равенство временных переменных, преобразовать функцию n переменных Y(s1, s2, …, sn) к функции одной переменной Y(s), что упрощает переход к временной области.

Литература

  1. Volterra V. Theory of Functionals and Integral and Integro-Differential Equations. Dover Publications. New York, 1959.
  2. Ван Трис Г.Л. Функциональные методы анализа нелинейного поведения систем фазовой автоподстройки частоты. IEEE (ТИИЭР), т.52, №8, 1964 г.
  3. Parent R.B. Nonlinear differential equations and analytic system theory. SAIM, J.Appl.Math. vol. 18, January 1970.
  4. Chen C.F., Chiu R.F. New theorems of association of variables in multiple dimensional Laplace Transform. INT. J. SYSTEM CSI., 1973, vol. 4, no. 4, p. 647 - 664.
  5. Техническая кибернетика. Теория автоматического управления. Кн.3, часть 2. Теория нестационарных, нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического регулирования. Ред. Солодовников В.В. – М: Машиностроение, 1969 г., с. 223 - 256.
  6. Ku Y.H., Wolf A.A. Volterra-Wiener Functionals for the analysis of Nonlinear Systems. J. Franklin Inst. v. 281, n.1, 1966, p. 9 - 26.

Добавление

Выдержки из писем от 1 и 3.12.2008 к.ф.-м.н., доц. Логинова Сергея Арсеньевича.
Публикуются с любезного согласия их автора.

Очень интересно было прочитать статьи этого прекрасно оформленного сайта. Особенно посвященные рядам Вольтерра, с которыми мне приходилось лет 30 назад разбираться и применять. Правда, в спектральной области: там свертки считаются проще, да и спектр сигналов на нелинейности в силу его дискретности уменьшал размерность задачи (по сильному сигналу размерность пространства была 41 в математическом спектре и 11 в слабонелинейной части для расчета интермодуляции 3-го порядка и "точки пересечения" — intercept point: слабонелинейное пространство строил "прямоугольником" и "ромбом", результаты совпадали).

Преимущество спектральной области позволяло иметь описание линейной части лишь на дискретах частоты, приводя ее к n-полюснику решением системы по Гауссу: цепь, имеющая физический смысл, нулей на диагонали дать не может, а если и дает на постоянном токе, то просто игнорируем операции для этой строки, зато в конце U-преобразования (LU = Lower/Upper) получаем Y-параметры линейной части цепи в правом нижнем углу:
....   .....   .....
      Y12 Y22
             Y11
(это для трехполюсника-транзистора, Y12 = Y21, последний столбец есть столбец присоединенных членов).

Идеология применения рядов Вольтерра состояла в расчете появляющихся источников тока в нелинейном элементе и включения точно таких же противотоков для получения нулевого результата по току (1) и расчета получающихся источников эдс, вызываемых в линейной части цепи этими противотоками. Все это, естественно, итерационно, т.е. шаг за шагом. И только для слабонелинейной системы, коей являлась находящаяся под воздействием сильного сигнала нелинейная система, описываемая как параметрическая — гармониками проводимостей. Инерционность не вводилась, поскольку исследовался лишь устойчивый стационарный режим.

Еще одно преимущество спектральной области вышло из ее недостатка — колоссального размера спектрального базиса. Например, при частотах слабых сигналов смесителя 70 и 71 и частоте гетеродина 12000 число дискретов может быть 12000 * 41 — страшно подумать. Однако конечность спектра сигнала при его описании означает его спектральную периодичность на всей бесконечной оси частот и можно выбрать такую триаду упомянутых частот, что число дискретов частоты станет кратной 2 и 3 в некоторой небольшой степени для применения БПФ. И это потому, что при спектральной периодичности все дискреты существуют одновременно во всех периодах (конгруентны по модулю наибольшего общего делителя — НОД). У меня были примеры, когда требовалось всего 128 отсчетов для описания всей системы.

Но сигнала я никогда воочию не видел. А вот у Вас увидел. Это меня и подвигло на воспоминания, да еще учет инерционности, хотя бы даже и однополюсным оператором: для биполярного транзистора нужен был двухполюсный, по модели Гамильтона, не Эберса-Молла. Вы вообще можете задать его как угодно точно.
Здорово.

... разобраться по существу не так и просто, по крайней мере тому, кто еще не прошел пути по реализации вычислений: численные методы хорошо, а вот вычислительная их реализация оказаться слишком сложной или создающей такие ограничения, которые на практике неприемлемы. Поэтому тем, кто только берется за решение своей задачи и лишь подбирает методы ее решения, важно знать оценку сложностей на пути организации вычислительного процесса и того, что от процесса можно ожидать при наперед заданной точности - быстродействия. Другими словами, нужны комментарии.
...
повернуть мозги тех, кто еще только размышляет над применением такого типа рядов, дать их безо всяких пугающих "ядер" — меня они пугали, я долго не мог понять их физического смысла в моей задаче, особенно во временнОй области, — было бы здорово.

Одновременно можно отметить и недостатки вычислений в каждой из областей: временной и спектральной. Особенно в спектральной, где при использовании дискретных конечных спектров вся энергия отброшенных высших гармоник сосредотачивается на последней учитываемой, придавая ей неоправданное значение. И преодоление недостатков можно бы отметить — в последнем случае чисто физико-техническое: если вклад чего-то неправильного незначителен, такой "неправильностью" можно пренебречь. Обычный порог составляет 5...10%: мы же отлично принимаем ЧМ-радиостанции и большинство даже не подозревает о бесконечных спектрах бесселей.

Всего наилучшего!

Логинов Сергей Арсеньевич
доц., к.ф.-м.н.
(03.04.01 - Радиофизика, включая квантовую)
1.12.2008 и 3.12.2008

24.01.2004
Добавление 20.12.2008

К содержанию