Федосов Борис Трофимович
РИИ, Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

Прогнозирование, анализ, синтез и моделирование сигналов управления

  1. Смысл ряда Тейлора – прогнозирование
  2. Область состоятельности прогноза в степенном базисе
  3. Решения (decision) – модели причин изменения поведения сигналов и воздействий
  4. Об алгоритме определения параметров решений, формирующих реальный сигнал
  5. О формировании требуемого сигнала управления
  6. Аппроксимация сигнала управления решениями низких степеней
  7. Заключение
  8. Литература

Сигналы – это, математические функции времени, модели реальных управляющих и возмущающих воздействий на объект. Для математического описания сигналов применяется несколько способов, в том числе: явное задание функции, спектральное и вероятностно-статистическое описание, решение дифференциального уравнения и др. Ниже предпринята попытка обозначения идеи анализа и синтеза сигналов управления на основе т.н. решений – локализованных во времени дозированных возмущений, аддитивно добавляемых в сигнал и его производные. Такое описание м.б. полезно при моделировании ситуаций с неизвестным заранее поведением воздействия, что часто бывает на практике, например, при выработке управляющих воздействий пилотом, уклоняющимся от направленной на его самолет ракеты или водителем в сложной дорожной обстановке, а также и в более простых случаях. Оно позволяет относительно простыми средствами сформировать сигнал управления достаточно общего вида и соответствует интуитивному представлению о том, как вырабатываются и реализуются решения по управлению объектами различного вида.

1. Смысл ряда Тейлора – прогнозирование

Знает ли сигнал о том, каким он будет
через некоторое время?

Некоторый гладкий сигнал s(t) может быть представлен бесконечным рядом Тейлора [1]:

(1)

s(t) = s(t1) + s'(t1) t/1! + s''(t1) t2/2! + s'''(t1) t3/3! + ...

Существо ряда Тейлора состоит в том, что сигнал сложной формы представляется взвешенной суммой простых стандартных степенных сигналов вида tk. Если в какой-то момент времени t1 известны (измерены или вычислены) значение сигнала s(t1), его скорость s'(t1), ускорение s''(t1) и более высокие производные по времени, то значения сигнала для последующих моментов времени t, определяются как сумма исходного значения сигнала и его приращений, обусловленных скоростью, ускорением и т.д. Например, функция sin(t) на некотором начальном интервале, не превышающем tmax = 2, с некоторой точностью представляется таким рядом:

(2)

gif-file, 20KB

График синусоиды и графики сумм нескольких первых членов ряда Тейлора приведены на рис. 1.

gif-file, 20KB

Рис. 1. График синусоидального сигнала и графики его усеченных разложений в ряд Тейлора в начале координат. Чем больше слагаемых в усеченном ряде, тем дольше аппроксимация совпадает с исходной синусоидой. Синусоида, будучи гладкой функцией, в окрестности начала координат знает о своем поведении как угодно далеко вперед, а ряд Тейлора может на основании информации о синусоиде только из окрестности начала координат спрогнозировать поведение синусоиды как угодно далеко вперед

Как видно на рис. 1, добавление слагаемого в усеченный ряд приводит к тому, что аппроксимация дольше совпадает с исходным сигналом – синусоидой. Каждый член ряда обеспечивает, вместе с младшими слагаемыми, совпадение аппроксимации на некотором интервале, тем дальше отстоящем от момента определения производных, чем больше его номер, равный степени производной, определяющей его коэффициент.

Примечания

  1. Гладким, аналитическим, будем называть сигнал, такой, что он сам и его производные не содержат ступенчатых изменений, т.е. являются непрерывными.
  2. Математики используют термин "экстраполяция" для определения процесса продолжения функции за пределы ее известных значений. Экстраполяция может осуществляться как вперед, в область прогноза, так и назад во времени.

Выводы

  1. Каждый член ряда Тейлора, вместе с младшими слагаемыми, определяет поведение аппроксимации на некотором временном интервале. Чем больше номер слагаемого, тем на более дальнем участке он начинает вносить заметный и существенный вклад в аппроксимацию. Таким образом, ряд Тейлора позволяет прогнозировать гладкий сигнал.
  2. Полный ряд Тейлора предсказывает поведение гладкой функции на неограниченный интервал вперед. Другими словами, информации, содержащейся в значениях сигнала в небольшой окрестности некоторой точки, как это не удивительно, достаточно для воспроизведения сигнала во всей области его определения.
  3. Как видно из вывода п. 2, гладкий сигнал известен во всей области своего определения. Таким образом, если сигнал гладкий и полностью известен, то он может быть разложен в ряд Тейлора. Следовательно, полный ряд Тейлора предсказывает значение сигнала, который и без того известен! Тем не менее, усеченные ряды могут быть применены на практике для прогноза поведения неизвестного сигнала на некоторый, относительно небольшой интервал вперед.

2. Область состоятельности прогноза в степенном базисе

Рассмотрим ограничения принципиального характера, не позволяющие прогнозировать поведение сигнала с помощью ряда Тейлора дальше некоторого интервала.

Прогнозирование траектории движения транспортного средства, например, автомобиля или самолета, является важной практической задачей. Рассмотрим график движения автомобиля, трогающегося с места и двигающегося, для простоты, по прямой дороге (одномерный случай). На рисунке рис. 2 показана эта траектория движения в координатах пройденный путь как функция времени. Как видно, после разгона автомобиль двигается примерно с одной и той же скоростью, слегка ускоряясь на спусках и замедляясь на подъемах. С точки зрения некоторой системы определения координат автомобиля его положение в зависимости от времени может рассматриваться как сигнал.

gif-file, 20KB

Рис. 2. График положения автомобиля, а также его скорости и ускорения в зависимости от времени. Автомобиль проехал за 100 сек примерно 1,7 км, слегка ускоряясь и замедляясь. Кривая движения, а также ее производные непрерывны, за исключением начального момента времени. В любой момент кривая может быть разложена в ряд Тейлора, который спрогнозирует дальнейший характер движения автомобиля на рассматриваемом интервале

Рассмотрим еще раз точно такую же ситуацию, то же самое движение, в котором примерно на 46 секунде, когда автомобиль проехал 0,8 км от исходной точки, на дороге неожиданно появляется утка с утятами. Водитель быстро выключает сцепление, нажимает на тормоз и останавливает машину рис. 3.

gif-file, 20KB

Рис. 3. Автомобиль тормозит на 46 секунде. Вторая производная координаты автомобиля изменяется скачком. Усеченный ряд Тейлора, полученный в любой точке на интервале движения, вплоть до 46 секунды состоятелен, т.е. дает правильные результаты. После 46 секунды может быть получен новый ряд Тейлора, с новыми коэффициентами, который будет состоятельным до нового скачка ускорения, связанного с троганием машины с места

Как следует из рассмотренного примера, состоятельность прогноза рядом Тейлора определяется отсутствием на некотором интервале дельта-возмущений в сигнале и его производных.

Выводы

  1. Ряд Тейлора предсказывает значение сигнала, но только пока он гладкий, до появления в одной из его производных или в самом сигнале дельта-возмущений. Дельта-возмущения влияют на значения сигнала после своего появления, но не влияют на значения сигнала в моменты времени до своего появления.
  2. Наличие в сигнале и его производных дельта-возмущений до момента определения производных прогнозирующего ряда не приводит к потере состоятельности прогноза.

3. Решения (decision) – модели причин изменения поведения воздействий

При управлении сложными, адаптивными системами сигнал задания определяется на основании анализа множества факторов. В зависимости от их сочетания поведение сигнала задания во времени требует изменения. Добиться этого, как уже было проиллюстрировано, можно дозированными воздействиями на сигнал и его производные.

Для обеспечения единообразия описания процесса формирования сигнала управления, полезно использовать типовые виды возмущений, изменяющих сигнал. Требования к этим типовым возмущениям можно сформулировать следующим образом:

В качестве возможных кандидатов на роль типовых возмущений можно рассмотреть единичную ступенчатую функцию и ее производные, т.е. дельта-функцию, являющуюся производной ступенчатой функции, и ее производные. Отметим, что если в какой-то производной сигнала появится возмущение в виде дельта-функции, то в производной степени на единицу ниже появится ступенчатое слагаемое, в то время как в производной степени на единицу выше появится возмущение в виде производной дельта-функции. Т.о. рассматриваемые функции связаны во времени и выбор типового воздействия может определяться лишь соображениями удобства его использования.

Идеальная дельта-функция это бесконечно короткий импульс, бесконечной амплитуды, созданный в нулевой момент времени и такой, что площадь его равна единице:

(3)

-∞+∞∫ δ(t) dt = 1

На рис. 4 представлены модели дельта-функции и ее производных, построенные по формулам из [1]. Масштабы по вертикали очень уменьшены, а по горизонтали – увеличены. Графики очень красивы. Для удобства воспроизведения и сопоставления функции представлены в разных масштабах по вертикали.

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 4. Модели дельта-функции, ее первой, второй и десятой производных. Модель дельта-функции представляет собой видеоимпульс, а модели ее производных – радиоимпульсы. Длительность импульсов стремиться к нулю, а амплитуды стремятся к бесконечности. Для наглядности графики сильно растянуты по горизонтали и сильно сжаты по вертикали

Отметим, что дельта-функция является, в радиотехнической терминологии, видеоимпульсом, она же, с точностью до множителя, является огибающей радиоимпульсов, представляющих ее производные. На практике воздействию производной дельта-функции подвергается, например, механическая система, на которую воздействует очень кратковременная вибрация.

Итак, и дельта-функция, и ее производные, и ее интегралы по времени четко связаны и поэтому выбор типового возмущения определится соображениями наглядности и удобства его применения. Целесообразно в качестве типового возмущения выбрать дельта-функцию. Эта функция имеет ясный физический смысл, легко генерируется с требуемой в технических приложениях точностью и отвечает сформулированным выше требованиям к типовому возмущению.

Назовем решением (decision) dk, аддитивное возмущение сигнала или одной из его производных, пропорциональное дельта-функции:

(4)

dk (t0) = nd δ(t0)

где: nd - твердость решения; k - степень дальновидности или просто дальновидность; t0 - момент выработки решения.

Основание выбора термина состоит в том, что в реальности человек или машина, формирующие сигнал управления на основе анализа состояния и поведения объекта, в какой-то конкретный момент времени осознают необходимость изменения поведения управляющего сигнала и вырабатывают воздействие, которое более или менее сильно, сразу или с некоторым запаздыванием, влияет на объект в течение некоторого времени.

Вывод. Рациональной моделью принятого человеком или машиной решения на изменение характера поведения сигнала управления является величина, пропорциональная дельта-функции, аддитивно вносимая в нужный момент в производную некоторой степени управляющего сигнала. По смыслу действия и применения эту модель можно назвать решением.

4. Об алгоритме определения параметров решений, формирующих реальный сигнал

Сложный непрерывный сигнал требуемого вида можно с достаточной точностью сконструировать, задавая ограниченное число решений, а значит и ограниченное число параметров.

Рассмотрим примеры. На рис. 5 показано, как с помощью цепочки интеграторов с нулевыми начальными условиями, на первый из которых воздействует дельта-функция, можно, задавая разные значения коэффициентов усилителей, соответствующих величинам производных, построить синусоидальный или экспоненциальный сигналы.

Примечание. Дельта-функция в программе VisSim [3] сформирована как масштабированная разность ступенчатого сигнала и такого же сигнала, задержанного на шаг интегрирования. При этом результаты чувствительны к методу интегрирования и в данном случае более приемлемым является метод Эйлера при выборе достаточно малого шага интегрирования. В построенных ниже диаграммах шаг выбирался равным 0,001. Для устранения эффекта чувствительности к методу интегрирования следует задерживать импульс дельта-функции на шаг интегрирования.

gif-file, 20KB

Рис. 5. Формирование аппроксимаций синусоидального и экспоненциального сигналов суммой степенных функций. Степенные функции создает цепь интеграторов, на которую воздействует дельта-функция. Значения коэффициентов усиления усилителей равны соответствующим значениям производных. Выходной сигнал сумматора – аппроксимация сигнала усеченным рядом Тейлора. Как видно, в течение первых полутора секунд аппроксимация довольно точная и для первого, и для второго сигналов

Второй пример приведен на рис. 6. Произвольный сигнал s(t) получен посредством введения значений его производных, определенных в нулевой момент времени, в качестве коэффициентов усиления усилителей.

gif-file, 20KB

Рис. 6. Формирование некоторого сигнала s(t) с помощью усеченного ряда Тейлора

Вывод

С помощью цепи интеграторов со вспомогательными элементами и дельта-функции можно на основе ряда Тейлора сформировать произвольный гладкий сигнал.

Произвольный сигнал s(t) может быть сформирован и альтернативным способом. В этом случае начальные значения сигнала и его производных задаются как начальные условия, начальные значения сигналов на выходах цепочки интеграторов, и инициирующее дельта-воздействие не требуется (рис. 7).

gif-file, 20KB

Рис. 7. Формирование сигнала цепочкой интеграторов. Начальные условия определяют поведение сигнала. Отметим, что начальные условия придаются интеграторам в этой схеме в "противоположном" направлении по сравнению со схемой рис. 6

Итак, в схеме рис. 6 внешнее дельта-возмущение приводит к последовательному формированию степенных функций на выходах интеграторов, а затем степенные функции складываются с весами, соответствующими коэффициентам ряда Тейлора. В схеме рис. 7 значения производных в нулевой момент времени задаются непосредственно на выходах интеграторов. Естественным образом интегрируясь, начальные условия дают первообразную, которая и является требуемым сигналом. Таким образом, формально, первая схема прогнозирует поведение сигнала, а вторая просто его вырабатывает. Внешне, результат один и тот же.

Третий пример показывает, что, воздействуя в нужный момент дельта-функцией на вход того или иного интегратора, можно желательным образом изменять дальнейшее поведение сигнала. Предположим, что управленческая ситуация потребовала изменить сигнал рис. 7, начиная с момента времени 0,77 сек с возрастающего на убывающий с заданной скоростью и ускорением. Дозируя величину коэффициента пропорциональности и место приложения дельта-функции, т.е. твердость решения и его дальновидность, можно изменить сигнал требуемым образом (рис. 8).

gif-file, 20KB

Рис. 8. В момент времени 0,77 сек на вход третьего со стороны выхода интегратора подана дельта-функция, умноженная на -1,2, т.е. -1,2 δ(t-0,77) что привело к непрерывному, плавному и все более быстрому изменению сигнала (красная линия). Другими словами, в момент 0,77 сек, выработано решение третьей степени дальновидности и с твердостью -1,2. Варьируя три этих параметра можно изменять сигнал желательным образом. Зеленая кривая показывает поведение сигнала, которое было бы в отсутствие решения на его изменение

Теорема F831: Произвольный непрерывный сигнал может быть с заданной точностью сформирован на некотором конечном (ограниченном) интервале последовательностью конечного числа решений.

Доказательство проведем не строго, для наглядности и чтобы не отнимать хлеб у математиков, и осуществим его в виде построения алгоритма создания требуемого сигнала в нескольких вариантах.

Ретроспективный анализ. Предположим, что требуемый сигнал уже сформирован на заданном временном интервале. Тогда будем последовательно определять его производные, и проверять их на непрерывность и наличие разрывов первого (конечные скачки) и второго (бесконечные скачки) рода. Локализовав во времени и определив величину скачков, можно тем самым определить, когда, в каких производных сигнала и какой интенсивности были введены возмущения, пропорциональные дельта-функции и каков этот коэффициент пропорциональности. Тем самым, будут полностью определены решения, сформировавшие сигнал. Найденные решения могут быть использованы для воспроизведения сигнала.

Мгновенный (скользящий) анализ. Если произвольный сигнал неизвестен, формируется в реальном времени, то в таком случае, дифференцируя его в реальном же времени несколько раз, до получения нуля или скачка, можно, в принципе, определять момент появления, интенсивность и дальновидность текущего решения.

Принятие решения в процессе формирования сигнала. Если в процессе управления требуется поменять некоторое поведение сигнала на другое, то сглаженный переход также может быть осуществлен одним или несколькими решениями. Для этого нужно знать, насколько быстро и сильно нужно изменять сигнал, что позволит вычислить твердость, дальновидность и моменты принятия решений и должным образом воздействовать на цепь интеграторов, формирующих сигнал.

Рис. 9 иллюстрирует способ определения параметров решения, формирующего условный реальный сигнал. Средняя цепочка интеграторов, на вход второго из которых подается возмущение, пропорциональное дельта-функции в момент 0,77 сек, моделирует условный сигнал управления, для которого требуется определить параметры решения. Верхняя цепь интеграторов заменяет, в данном случае для экономии места чертежа, формирователь сигнала рис. 6, позволяющего строить прогнозирующую аппроксимацию.

Идентификация решения, т.е. определение момента времени и других его параметров сводится к определению характеристик степенной функции, представляющей собой разность реального и прогнозного сигналов.

gif-file, 20KB

Рис. 9. Локализация во времени решения и определение его параметров по кривой расхождения прогноза (синяя линия верхней осциллограммы) и "реального" сигнала (красная). По красной кривой расхождения нижней осциллограммы определено время решения, а затем подобрана степень дальновидности и твердость решения такие, чтобы модельное расхождение (синяя кривая) совпало с действительным. Для удобства сравнения синяя кривая опущена на 0,4

По нижней осциллограмме рис. 9 видно, что расхождение начинается в момент 0,77 сек. Нижний формирователь сигнала, состоящий из трех интеграторов, формирует сигнал -0,6(t-0,77)2, который, как видно из нижней осциллограммы, полностью совпадает с разностным сигналом. Для удобства сравнения синий сигнал опущен на величину 0,4 вниз. Т.о. определено, что при формировании "реального" сигнала в момент времени 0,77 сек состоялось решение третьей степени дальновидности с твердостью -1,2.

Выводы

  1. Непрерывный сигнал управления может быть проанализирован на наличие решений, его формирующих. Решения, формирующие сигнал могут быть идентифицированы путем периодического определения параметров расхождений реального сигнала и его степенного прогноза.
  2. Произвольный, кусочно-гладкий сигнал управления может быть сформирован на некотором интервале конечной последовательностью решений.

5. О формировании требуемого сигнала управления

Управление в реальном времени позволяет знать сигнал только до текущего момента и на основании анализа состояния и поведения объекта, а также поступающих на него возмущений, и в соответствии с целью управления требует конкретного изменения сигнала. Рис. 10 демонстрирует возможность изменения сигнала в ближайшем будущем путем изменения твердости решения второй степени от -3 до 3 с шагом 1.

gif-file, 20KB

Рис. 10. Семейство графиков сигналов, формируемых в момент 0,77 сек решениями на изменение исходного сигнала третьей степени дальновидности с твердостями, меняющимися от -3 до 3 с шагом 1. Воздействуя на третью производную дельта-функцией различного веса можно получить плавное изменение сигнала в ближайшем будущем в нужном направлении. Задержка дельта-функции осуществлена в программе VisSim использованием стандартного блока задержки

Для решений разных степеней могут быть построены универсальные графики управляемости сигналов при нулевых начальных условиях, значениях сигналов на выходах цепи интеграторов.

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 11. Универсальные графики сигналов, сформированные решением третьей (вверху) и второй (внизу) степени дальновидности с твердостью, меняющейся от -3 до 3 с шагом 1. Графики могут быть использованы при формировании сигнала с требуемым поведением. Как видно, сигнал, сформированный решением третьей степени дальновидности, начинается более плавно, но затем скорость его роста все увеличивается, и он со временем обгонит сигнал второй степени

Графики рис. 11 могут служить для выработки решения на изменение текущего сигнала управления в соответствии с требуемым через некоторый короткий интервал его значением, а также значением его производных.

Вывод

Требуемый сигнал управления может быть сформирован последовательностью дозированных решений, вырабатываемых в нужные моменты времени.

6. Аппроксимация сигнала управления сигналом, сформированным решениями низких степеней

Наличие аддитивных шумов в реальных сигналах ограничивает количество членов усеченного ряда Тейлора, применимого на практике, двумя-тремя, оставляя состоятельным только линейный или квадратичный прогноз. В то же время, решения, формирующие реальный сигнал могут иметь или, при формировании, требовать куда более высоких степеней дальновидности. В этом случае целесообразно заменять, аппроксимировать действие дальновидного решения действием нескольких решений с меньшей степенью дальновидности.

Иллюстрация представлена на рис. 12. Здесь парабола второй степени, сформированная одним решением третьей степени дальновидности, аппроксимируется линейно-ломаной. Каждый отрезок линейно-ломаной формируется решением второй степени дальновидности.

gif-file, 20KB

Рис. 12. Схемы формирования моделей сигналов и их аппроксимаций. Схема в верхнем прямоугольнике условно формирует сигнал управления с решением третьей степени дальновидности (красная кривая на верхней осциллограмме). Схема в прямоугольнике вверху справа эквивалентна прогнозирующей схеме, она формирует прогноз по состоянию на нулевой момент времени (синяя кривая на верхней осциллограмме.) На нижней осциллограмме показана разность этих сигналов (красная кривая), а также ее аппроксимация линейно-ломаной (синяя линия), формируемая схемой в нижнем прямоугольнике, параметры которой подбираются из критерия допустимой ошибки аппроксимации. Определение таким способом моментов решений второго порядка и их интенсивности позволяет ввести соответствующие взвешенные дельта-функции в цепь интеграторов. Ввод осуществляется на один интегратор правее того, на вход которого подавалось дельта-возмущение при формировании исходного сигнала. Это позволяет получить с помощью схемы в прямоугольнике между осциллограммами аппроксимацию исходного сигнала (зеленая кривая на верхней осциллограмме – опущена на 0,2 для удобства сравнения)

Как видно на рис. 12, гладкий сигнал, модифицированный решением d3(0,77) = -1,2 δ(t-0,77), т.е. дельта-возмущением с весом -1,2 в третьей производной, введенным в момент 0,77 сек, может быть удовлетворительно аппроксимирован на интервале 0,77..4 сек суммой трех решений d2(t-0,77) + d2(t-2,0) + d2(t-3,2). Иными словами введением трех возмущений во вторую производную в моменты времени: 0,77 сек; 2,0 сек и 3,2 сек; с интенсивностью: -0,6; -1,6 и -1,4 соответственно, заменяется действие одного, более дальновидного решения (красная и зеленая кривые на верхней осциллограмме). Как видно на верхней осциллограмме рис. 12, степень "гладкости" аппроксимированного сигнала будет ниже.

Отметим, что решения малой степени дальновидности более эффективны сразу после того, как они вырабатываются, формируются, в то время, как более дальновидные решения вначале слабо сказываются на изменяемом сигнале, но со временем начинают влиять все более значительно, далеко обгоняя влияние решений низких степеней.

Ввиду практической значимости проиллюстрированного приема, сформулируем его в виде теоремы.

Теорема F832: Решение со степенью дальновидности k = 3 и более может быть аппроксимировано на некотором конечном интервале последовательностью решений меньших степеней l, при этом, обеспечивается непрерывность аддитивной добавки, обусловленной действием решения.

Наметим способ доказательства. Пусть имеется сигнал srk(t), сформированный из гладкого сигнала s(t) решением степени дальновидности k, равной или большей 3:

(5)

gif-file, 20KB

Этот сигнал может быть аппроксимирован на некотором интервале (t0tm) использованием последовательности решений dl(ti) меньшей степени l < k. Число решений M определяется величиной интервала, требуемой точностью аппроксимации и разностью дальновидности решения k и дальновидности l аппроксимирующих решений. Аппроксимацию можно представить в виде:

(6)

gif-file, 20KB

Интегрирование по времени дельта-возмущения исходного решения (k - l + 2) раза дает параболу степени (k - l). Эта парабола, как показано на рис. 12, может быть аппроксимирована линейно-ломаной, отрезки которой дает двукратное интегрирование аппроксимирующих решений. Если k > (l + 2), то последующие интегрирования, дающие окончательный результат аппроксимации, только улучшат гладкость аппроксимирующего сигнала. Наконец, отметим, что аппроксимирующие решения могут не иметь одинаковую степень дальновидности.

Вывод

Сигнал, сформированный решением высокой степени дальновидности, может быть аппроксимирован использованием последовательности решений более никих степеней.

Заключение

  1. Прогнозирование сигналов в степенном базисе корректно и состоятельно только на тех интервалах времени, на которых отсутствуют дельта-возмущения в сигнале и его производных. Ограниченный степенной ряд аппроксимирует (экстраполирует) на некоторый короткий интервал времени вперед значение сигнала и в том случае, если дельта-возмущения отсутствуют в производных сигнала, степень которых меньше номера старшего коэффициента усеченного ряда увеличенного на два.
  2. Дозированное дельта-возмущение, вводимое в производную сигнала является результатом принятия решения системой управления (человеком или машиной) и может служить моделью этого решения и так же называться. Решение характеризуется всего тремя параметрами: степенью дальновидности, твердостью и моментом его принятия.
  3. Непрерывный сигнал управления произвольного вида может быть сформирован на некотором временном интервале конечной последовательностью дозированных решений.
  4. Расхождение поведения реального сигнала и его непрерывно или периодически выполняемого прогноза в степенном базисе позволяет определять параметры решений, формирующих сигнал.
  5. Решение высокой степени может быть заменено, на некотором интервале, последовательностью решений меньшей степени дальновидности.

Литература

  1. Лукас В. А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.: ил.
  2. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике. М.:, Наука, 1974, 832 с.
  3. VisSim 5.0. Visual Solutions Inc. - Website: http://www.vissim.com, 2003.
  4. Mathcad 2000. MathSoft, Inc.

27.08.2003