Федосов Борис Трофимович
РИИ, Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

Об оценке качества линейных САР с использованием программ моделирования

  1. Краткая теория
  2. Статическая САР
  3. Астатическая САР
  4. Качество САР при гармоническом воздействии
  5. Заключение
  6. Литература
  7. Примечания редактора
  8. Ответ автора

1. Краткая теория

Качество линейных САР принято характеризовать точностью и быстродействием их работы в переходном и установившемся режимах.

И переходный, и установившийся режимы работы линейной системы могут существовать при подаче изменяющихся воздействий на систему. Отличие заключается в том, что в переходном режиме либо само воздействие, либо некоторые его младшие производные содержат ступенчатые изменения. Некоторое время после скачка величины воздействия или его производной, в системе происходит переходный процесс, а затем, по его окончании система функционирует в установившемся режиме до появления новых скачков воздействий и их производных или до коммутаций, изменяющих структуру схемы.

Качество САР в переходном режиме характеризуется [1] параметрами переходной функции. Переходную функцию модели - реакцию системы на ступенчатое единичное воздействие несложно построить для модели в любой моделирующей программе. Остается только определить время регулирования и перерегулирование, характеризующие в первом приближении быстродействие и точность САР.

Качество САР в установившемся режиме принято характеризовать коэффициентами ошибок [2]. Коэффициенты ошибок можно определить как коэффициенты разложения в ряд Тейлора передаточной функции САР Φe(s) по ошибке, обусловленной воздействием:

(1)

gif-file, 20KB

где: с0 - коэффициент ошибки по положению; с1 - коэффициент ошибки по скорости; с2 - коэффициент ошибки по ускорению.

Тогда, очевидно, поведение ошибки регулирования во времени может быть представлено рядом:

(2)

e(t) = c0 x(t) + c1 x'(t) + c2 x''(t) / 2 + ... .

Из (2) следует, что при заданной допустимой максимальной ошибке регулирования em, c привлечением принципа равных влияний, коэффициенты определяют:

Таким образом, коэффициенты с0, с1 и с2 определяют как точность, так и быстродействие системы в установившемся режиме.

Традиционно коэффициенты ошибок находятся путем разложения передаточной функции САР в ряд Лорана (делением числителя передаточной функции на ее знаменатель). В моделирующих программах весьма просто получить отклик САР на степенное воздействие произвольного порядка, а путем несложного анализа изменения ошибок регулирования во времени можно получить и значения коэффициентов ошибок.

Определение коэффициентов ошибок регулирования, которое проиллюстрируем на примере применения программы VisSim, целесообразно проводить в следующем порядке.

Определение коэффициента ошибки по положению с0:

  1. Построить модель главного контура САР (transferFunction + summingJunction + gain), подключить на ее вход генератор ступенчатого сигнала (step), а выход сумматора контура главной обратной связи подключить к осциллографу (plot).
  2. Запустить процесс моделирования.

Установившееся значение выходного сигнала сумматора главного контура обратной связи и есть коэффициент ошибки по положению с0. Действительно, при t стремящемся к ∞, т.е. по окончании переходных процессов, входной сигнал x(t) = 1, а его производные x'(t) = 0 и x''(t) = 0. Поэтому, как следует из (2), e(t) =  c0. Статические системы хорошего качества имеют коэффициент с0 в пределах 0,01..0,1. У астатических систем, имеющих интеграторы в контуре, коэффициент с0 равен нулю.

2. Статическая САР

2.1. Коэффициент ошибки по положению

Пример определения коэффициента ошибки по положению с0 для статической САР приведен на рис. 1.

gif-file, 20KB

Рис. 1. Определение коэффициента ошибки с0 для статической системы. Значение коэффициента равно установившемуся значению ошибки регулирования

Отметим, что хотя для практического использования достаточно знать величину с0 с точностью в две - три значащих цифры, но для того, чтобы далее, в программе VisSim, достаточно точно определять значения коэффициентов с1 и с2 необходимо определять значение коэффициента с0 с точностью 6..8 значащих цифр. Это легко сделать, изменяя масштаб осциллограммы - выделяя ее участок левой кнопкой мыши и удерживая при этом клавишу Ctrl, хотя более удобно использовать цифровой индикатор (display).

2.2. Коэффициент ошибки по скорости

Определение коэффициента ошибки по скорости с1 целесообразно проводить следующим образом. Заменить в предыдущей схеме ступенчатое воздействие на линейно растущее воздействие (ramp): x(t ) = 10(t)∙t, где 10(t) - единичная ступенчатая функция Хэвисайда. Имея виду, что по окончании переходного процесса, x'(t) = 1, x''(t ) = 0 и учитывая (2) получим:

(3)

e(t) = c0 t + c1 .

Отсюда

(4)

c1e(t) - c0 t .

Как видно, для получения значения с1 следует из установившегося значения ошибки e(t) вычесть линейно растущую величину c0t, определяющую зависимость установившегося значения ошибки от величины сигнала. Схема и осциллограмма примера определения коэффициента ошибки по скорости приведена на рис. 2.

gif-file, 20KB

Рис. 2. Определение коэффициента ошибки по скорости с1. Значение ошибки, численно равное коэффициенту с1, следует определять по окончании переходного процесса

О достаточной степени точности определения коэффициента с0 можно судить по осциллограмме рис. 2. Если этот коэффициент задан недостаточно точно, то по окончании переходного процесса, хорошо наблюдаемого на осциллографе, график осциллограммы на рис. 2 будет убывать или возрастать. Для устранения этого, можно вернуться к схеме рис. 1 и там уточнить значение с0. Уточнение можно провести и подбором этого значения в схеме рис. 2, добиваясь того, чтобы график установившегося процесса проходил горизонтально на отрезке времени, значительно превышающем длительность переходного процесса.

2.3. Коэффициент ошибки по ускорению

Определение коэффициента ошибки по ускорению с2 выполним следующим образом. На исследуемую САР следует подать параболу:

x(t) = 10(t) t2/2! .

По окончании переходного процесса производные примут вид: x'(t) = t, x''(t) = 1, а старшие производные степени к для всех к > 2 равны нулю: x(к)(t) = 0. Таким образом, в установившемся режиме выражение (2) для ошибки примет вид:

(5)

e(t) = c0 t2/2 + c1 t + c2/2 .

Отсюда может быть найдено значение c2:

(6)

c2 = 2 (e(t) - c0 t2/2 - c1 t) .

gif-file, 20KB

Рис. 3. Схема для определения коэффициента ошибки с2 САР по ускорению и осциллограмма с указанным значением коэффициента. Параболическое воздействие формирует интегратор, интегрирующий линейно растущий сигнал

Схема рис. 3 позволяет при необходимости уточнить значения младших коэффициентов ошибок. Критерием здесь, как и ранее служит требование горизонтальности графика в течение времени, значительно, в 10..100 раз, превышающего длительность переходного процесса.

gif-file, 20KB

Рис. 4. Проверка правильности определения коэффициентов ошибок. На нижней осциллограмме приведены: сигнал ошибки e(t) непосредственно из модели САР (красная кривая) и сигнал ошибки, вычисленный с помощью полученных ранее значений коэффициентов ошибок (синяя кривая). Второй график поднят на 0,2 для удобства сравнения кривых. Как видно, они совпадают, что свидетельствует о правильности определения коэффициентов ошибок. При данном воздействии и интервале наблюдения основной вклад в ошибку вносит слагаемое с коэффициентом ошибки по положению с0.

Отметим, что выбор метода интегрирования VisSim'а в данном примере мало сказывается на результатах определения коэффициентов ошибок.

Как следует из (1), коэффициенты ошибок могут быть получены и разложением передаточной функции САР по ошибке, обусловленной заданием, в ряд Тейлора. Ниже, для сравнения с результатами VisSim'а, разложение проведено в программе Mathcad 2000:

gif-file, 20KB

Как видно, для рассмотренного примера, коэффициенты с0 и с2 совпадают в обеих программах с точностью выше четырех значащих цифр, а коэффициент с1 совпадает только с точностью в три значащих цифры, что впрочем вполне достаточно для практики, но, тем не менее, характеризует и точность, достижимую в программах. Не всегда длинный ряд цифр в числе свидетельствует о его точности.

3. Астатическая САР

Пример определения коэффициентов ошибок для астатической системы с первым порядком астатизма приведен на рис. 5. Модель получена из предыдущей модели добавлением ПИ-регулятора. Наличие интегратора в контуре обеспечивает равенство нулю коэффициента ошибки с0.

gif-file, 20KB

Рис. 5. Схемы для определения коэффициента ошибки по ускорению с2 астатической САР и проверки правильности определения коэффициентов ошибок. Синий график на нижней осциллограмме приподнят на величину 0,05 для удобства сравнения величин ошибок. Как видно, по окончании переходного процесса, примерно через 3 сек, значение ошибки e(t), определенное с помощью коэффициентов ошибок растет линейно, как и положено при параболическом воздействии на систему первого порядка астатизма, и совпадает с ошибкой модели. Значение коэффициента с2 для получения более высокой точности целесообразно определять в этом примере при длительности развертки осциллографа, равной 100 сек

Отметим, что во втором примере, в случае астатической системы, результат определения коэффициента с2 более существенно зависит от метода интегрирования, чем в первом. В диаграмме рис. 5 применялся метод Эйлера.

4. Качество САР при гармоническом воздействии

Наряду со степенным воздействием важным характерным сигналом, поддерживающим установившийся режим работы САР, является синусоидальный сигнал. Качество работы САР в условиях воздействия на нее синусоидального сигнала полезно характеризовать амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) САР по тому же каналу ошибки, обусловленной заданием. К сожалению, на сегодняшний день программа VisSim неправильно масштабирует графики при переходе от логарифмического масштаба к натуральному масштабу. В такой ситуации можно применить различные альтернативные способы построения АЧХ, из которых наиболее простым в реализации является применение сигнала с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). Результат здесь представляется в не очень изящной форме, но для практических целей годится.

На рис. 6 показана схема для построения АЧХ с использованием ЛЧМ сигнала и осциллограммы сигналов ошибки регулирования и выходного сигнала САР. Нижний вход осциллографа служит для создания развертки по частоте (следует поставить галочку "XY plot" в свойствах осциллографа).

gif-file, 20KB

Рис. 6. Использование ЛЧМ сигнала для построения АЧХ САР. Огибающие частотно-модулированного сигнала и представляют собой амплитудно-частотные характеристики (АЧХ). Внизу показаны для сравнения те же характеристики, построенные в программе Mathcad 2000

Как видно на рис. 6, амплитуда сигнала ошибки достигает значительных величин уже тогда, когда величина выходного сигнала снижается еще незначительно. Это обусловлено тем, что передаточные функции связаны соотношением:

(7)

Φз(s) + Φ(s) = 1

Критерием быстродействия САР при использовании АЧХ САР может служить граничная частота, на которой усиление составляет 0,707 исходного. Для схемы рис. 7 это примерно 20 рад/сек. Сигналы произвольной формы, спектр которых ограничен сверху частотой, меньшей чем граничная, будут отрабатываться САР с удовлетворительной точностью.

Заключение

Коэффициенты ошибок САР характеризуют ее точность и быстродействие в установившемся режиме работы при отработке степенных воздействий. Поскольку произвольное гладкое воздействие может быть разложено в степенной ряд, то коэффициенты ошибок могут характеризовать качество САР и при произвольном сигнале, позволяя определять динамические ошибки регулирования.

Коэффициенты ошибок САР могут быть определены в моделирующих программах как установившиеся постоянные значения ошибок слежения при степенных воздействиях различных порядков. Точность определения значений младших коэффициентов ошибок для получения верного значения старшего коэффициента должна быть достаточно высокой: 6..8 знаков.

Качество САР при отработке гармонического воздействия характеризуется АЧХ САР по каналу ошибки, обусловленной заданием или возмущением. АЧХ может быть построена с использованием синусоидального сигнала с линейной частотной модуляцией.

Учитывая некоторые особенности и недоработки хорошей в общем программы VisSim, для уверенности в результатах, целесообразно проводить и контрольные расчеты в другой моделирующей программе или в Mathcad'е.

Литература

  1. Лукас В. А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.: ил.
  2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М., Наука, 1972, с. 208.
  3. Клиначёв Н. В. Измерения ЛАЧХ & ЛФЧХ в моделирующих пакетах. - Website: http://www.vissim.nm.ru/achx.html, Челябинск, 2001.

7.08.2003

Примечания редактора

Клиначёв Николай Васильевич

При построении непрерывных моделей в VisSim'е не рекомендуется широко использовать блок transferFunction. По сути – это специальный инструментарий для генерации коэффициентов классических линейных фильтров (Бесселя, Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева), а так же дискретных (КИХ, БИХ-фильтров, преобразователя Гильберта, дифференциатора). Мастер генерации коэффициентов должен поддерживать билинейное преобразование с минимальными погрешностями. Поэтому на интеграторы блока transferFunction не действует переключатель методов интегрирования в настройках симуляции VisSim'а. Рекомендуется использовать универсальную блок-схему для построения передаточных функций линейных систем.

Возможно автоматизировать процесс измерения коэффициентов. На приведенном рисунке демонстрируется соответствующая блок-схема. Вы можете сравнить результаты с теми, что получены с помощью блок-схем автора, см. рис. 1..4. БИХ-фильтры (апериодические звенья первого порядка) не обязательны. Они используются для уменьшения шума математического сопроцессора. При решении этой задачи дважды дифференцируется параболический сигнал, характеризующийся большим динамическим диапазоном – шум округления мантиссы может приобрести существенный вес. По этой причине осциллографический контроль результата обязателен.

gif-file, 20KB

10.08.2003

Ответ автора

Одно из важнейших достоинств VisSim'а - простота построения модели. Это очень важно для тех инженеров и студентов, которым требуется изредка, раз в полгода, быстро, эффективно и не прибегая к универсальным языкам программирования промоделировать и исследовать систему управления. Блок transferFunction позволяет легко строить модели даже очень сложных реализуемых элементов систем и систем в целом, за исключением разве что ПИД-регулятора. Если время расчета не критично, пользоваться блоком transferFunction можно и безопасно, достаточно лишь выбрать поменьше шаг интегрирования, чтобы получить правильный результат. Критерием правильности может быть неизменность результата при уменьшении, например вдвое или в десять раз шага интегрирования. Пусть при этом расчет займет пару секунд, а не малые доли секунды. Конечно, в задачах, где скорость моделирования существенна, например, если модель работает в контуре управления реальным устройством, для ускорения работы целесообразнее использовать модель с цепочкой интеграторов, а не блок transferFunction.

Сигналы в реальных системах сопровождаются аддитивными шумами, пусть и очень малыми. Операции дифференцирования существенно снижают отношение сигнал/шум, что может не позволить получить необходимую точность установившегося значения ошибки. Поэтому, по возможности, следует воздерживаться от применения дифференцирующих устройств, особенно при измерениях коэффициентов ошибок в реальных системах. Если же, по каким-то причинам, приходится применять дифференцирующие звенья, то следует анализировать и, при необходимости, компенсировать влияние шумов.

12.08.2003