Федосов Борис Трофимович
РИИ, Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

Переходный и установившийся режимы системы автоматического управления.
Причины возникновения, описание, сходства и различия

  1. Переходные процессы в апериодическом звене. Ступенчатое воздействие
  2. Переходные процессы в колебательном звене и звеньях более высоких порядков при ступенчатом воздействии
  3. Переходные процессы линейных систем при непрерывных воздействиях
  4. Условия отсутствия переходного процесса в системе управления
  5. Признаки переходного и установившегося режимов работы САР
  6. О приближенном описании установившегося режима
  7. Заключение
  8. Литература

Большинство инженеров, так или иначе связанных с электричеством, изучали, а многие и умеют рассчитывать переходные процессы в системе классическим и операторным методами, но часто не до конца понимают физическую сущность этих процессов или находятся в заблуждении относительно них. Проводимое ниже рассмотрение может помочь лучше почувствовать смысл, суть и свойства установившегося и переходного режимов, а понимание позволит улучшить качество проектируемых САР.

Системы управления всесторонне описываются дифференциальными уравнениями. Для изучения свойств систем нужно только понять и раскрыть то, что уже содержится в решении дифференциальных уравнений. Важными составляющими представления о системе, даваемого дифференциальными уравнениями, являются понятия переходного и установившегося процессов или режимов.

С понятиями переходного и установившегося процессов связаны некоторые кажущиеся противоречия. Вот примеры:

И переходный, и установившийся режимы работы линейной системы могут существовать при подаче изменяющихся воздействий на систему. Отличие заключается в том, что в переходном режиме либо само воздействие, либо некоторые его младшие производные содержат ступенчатые изменения. При этом, старший порядок производной воздействия, приводящего к переходному процессу, определяется степенью полинома числителя передаточной функции системы или, что то же, числом ее нулей (пояснено ниже). Некоторое время после скачка величины воздействия или его младших производных, в системе происходит переходный процесс, а затем, по его окончании, система функционирует в установившемся режиме до появления новых скачков воздействий и их производных или до моментов коммутаций, изменяющих структуру схемы.

Переходный режим возникает из-за несоответствия состояния системы поступающим на нее воздействиям. Несоответствие может возникать вследствие наличия ступенчатых слагаемых в воздействии (и) или в его некоторых младших производных. Второй причиной возникновения переходного процесса является несоответствие начальных условий (значений сигналов на выходах интеграторов модели системы в момент подачи воздействия) подаваемому на модель гладкому сигналу. В первом случае переходный процесс может возникать в любые моменты времени, а во втором случае, когда на систему подается достаточно гладкий сигнал, переходный процесс происходит лишь после подачи сигнала - однократно, после чего, сигналы, поступающие на систему и приведенные ко входу первого интегратора модели становятся непрерывными, изменяются плавно, что и является причиной и признаком установившегося режима.

Таким образом сигналы, воздействия, поступающие на некоторый линейный объект или систему, можно разделить на условно-гладкие, такие, которые не приводят к возникновению переходного процесса, и "шероховатые", приводящие к переходному процессу.

Суть переходного режима это перераспределение энергии между накапливающими элементами системы, такое, которое обеспечивает "согласование" состояния и поведения системы с входным воздействием. Накапливающими элементами, например, в электрической цепи являются конденсаторы и катушки индуктивности, в механических системах это пружины и массивные элементы.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Переходные процессы в апериодическом звене. Ступенчатое воздействие

Реальные системы и их адекватные модели обладают инерционностью. Поэтому они не могут мгновенно реагировать на резкое, скачкообразное, ступенчатое изменение воздействия. Переход системы из одного состояния, соответствующего некоторому исходному воздействию, в другое происходит некоторое время. Это и есть переходный процесс. Однако, в некоторых случаях, при подаче даже, например, ступенчатого воздействия, система уже готова его воспринять и переходный процесс в таком случае отсутствует (рис. 1).

gif-file, 20KB

Рис. 1. Переходные процессы апериодического звена при разных значениях начальных условий. Величина, интенсивность переходного процесса уменьшается при приближении начального условия (исходного значения выходного напряжения интегратора модели) к установившемуся значению выходного сигнала. Таким образом корректнее было бы говорить не о том, есть или отсутствует переходный процесс, а о его величине, которую можно было бы определять по максимуму отклонения

Как видно на рис. 1, переходный процесс не возникает, если выходное напряжение апериодического звена в момент поступления ступенчатого воздействия равно установившемуся значению выходного сигнала звена. В этом случае звено "настроено" на прием ступеньки, готово его воспринять без переходного режима.

2. Переходные процессы в колебательном звене и звеньях более высоких порядков при ступенчатом воздействии

Для колебательного звена (рис. 2) и звеньев более высокого порядка вышесказанное остается в силе:

gif-file, 20KB

Рис. 2. Переходный процесс в колебательном звене зависит от начальных условий. При начальном условии 4,3 (нижнее звено) выходной сигнал не испытывает колебаний, а сразу устанавливается на постоянном уровне (фиолетовая линия)

Таким образом, даже при ступенчатом воздействии на входе линейной системы, переходный процесс может отсутствовать.

3. Переходный процесс при непрерывном воздействии

О реакции систем на линейно растущее воздействие

Модель любой линейной системы может быть построена с использованием только интеграторов, усилителей и сумматоров. На рис. 3 показаны две эквивалентные модели колебательного звена, на которые воздействует непрерывный сигнал вида:

(1)

x(t) = 10(t) t ,

где: 10(t) - ступенчатая функция, которая равна нулю, при t < 0; и равна единице при t ≥ 0.

gif-file, 20KB

Рис. 3. Две эквивалентные модели колебательного звена и осциллограмма их реакций на непрерывное, линейно растущее с нулевого момента времени воздействие. Заметен переходный процесс, продолжающийся менее 1 сек. Осциллограммы совпадают. График выходного сигнала нижней схемы приподнят на 0,2 для удобства сравнения

Как видно на рис. 3, непрерывное воздействие вызывает переходный процесс. Это происходит потому, что в начальный момент времени колебательное звено не настроено воспринимать такое воздействие, нулевые начальные условия (первые нули в метках под осциллографами) не соответствуют подаваемому сигналу.

Начальные условия колебательного звена задаются на выходах двух интеграторов, поскольку это звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Для устранения переходного процесса в колебательном звене для конкретного воздействия следует подобрать (или вычислить) соответствующие значения начальных условий. Это иллюстрируется рис. 4.

gif-file, 20KB

Рис. 4. Модели трех колебательных звеньев с различными значениями начальных условий. Только для верхнего звена с начальными условиями y'(0) = 0,43 и y(0) = -0,19 (красная кривая) переходный процесс отсутствует - график его выходного сигнала с самого начала идет параллельно графику входного сигнала, умноженного на коэффициент 4,3 усиления колебательного звена (фиолетовая кривая)

Таким образом, реакция линейной системы на непрерывное воздействие может как содержать переходный процесс, так и не содержать его, в зависимости от начальных условий, т.е. начального состояния модели, и конкретного входного сигнала.

О реакции систем на степенное воздействие третьего порядка

Проинтегрировав линейно растущую функцию дважды можно получить сигнал, изменяющийся во времени в соответствии с законом параболы третьей степени:

(2)

x(t) = 10(t) t3/3!

gif-file, 20KB

Рис. 5. Реакция верхнего колебательного звена с нулевыми начальными условиями на параболу третьей степени не имеет переходной составляющей (красная кривая), в то время как такие же звенья с ненулевыми начальными условиями в отклике на тот же сигнал содержат и переходную составляющую

Как видно на рис. 5, гладкое воздействие в виде параболы третьей степени не вызывает переходного процесса только в колебательном звене с нулевыми начальными условиями. Выходной сигнал этого звена с течением времени плавно отстает от воздействия, что свидетельствует об установившемся режиме работы. Звеньям с ненулевыми начальными условиями, не соответствующими подаваемому сигналу, приходится к нему "приноравливаться" в переходном процессе.

О реакции систем на ступенчатое слагаемое в первой производной воздействия

gif-file, 20KB

Рис. 6. Входной сигнал непрерывен. Ступенчатое изменение в первой производной входного сигнала приводит к появлению переходного процесса в колебательном звене с нулевыми начальными условиями. Переходный процесс завершается к концу первой секунды

Таким образом, непрерывное, гладкое воздействие может как вызывать переходный процесс, так и не вызывать его.

4. Условия отсутствия переходного процесса в системе управления

В теории автоматического управления обычно рассматриваются САР с нулевыми начальными условиями. Это объясняется тем, что изучается реакция системы управления, работающей в установившемся, стационарном режиме, на малые приращения воздействий. Это часто позволяет рассматривать систему как линейную, и, кроме того, считать начальные условия нулевыми.

Рассмотрим систему третьего порядка:

(3)

gif-file, 20KB

Обычно модель такой системы представляется в виде, показанном в верхней части рис. 7, однако можно составить и эквивалентную схему, в которой дифференцирование входного воздействия будет осуществляться в явной форме, так, как показано в нижней части рис. 7.

gif-file, 20KB

Рис. 7. Две эквивалентные формы представления модели системы третьего порядка. Числитель (3) учитывается либо смещением точек приложения воздействий вправо по цепи интеграторов (верхняя схема), либо непосредственным дифференцированием входного сигнала, так, как показано на нижней схеме

Вторая форма по ряду причин, в частности ввиду наличия в реальном сигнале аддитивных шумов, которые гиперболизируются операцией дифференцирования, обычно на практике не используется, но по ее схеме хорошо видно, что входное воздействие, прежде чем попасть на модель контура управления,подвергается дифференцированию. Таким образом, для исключения переходного процесса в данной схеме необходимо, чтобы третья производная входного сигнала x(t) была непрерывной. В этом случае, на контур скачки не поступят. Если начальные условия нулевые, т.е. напряжения на выходах интеграторов равны нулю, то названное условие является и достаточным.

Сказанное можно сформулировать и другим образом: скачки (разрывы первого рода) в производных воздействия, старших чем число нулей передаточной функции системы с нулевыми начальными условиями не приводят к возникновению переходного процесса.

В случае ненулевых начальных условий для обеспечения отсутствия переходного процесса, к сформулированному выше необходимому условию следует добавить условие согласования входного сигнала и его производных с начальными условиями.

Смысл переходного процесса - это согласование энергетического состояния взаимодействующих элементов системы с резко изменившимися входным сигналом и (или) его младшими производными.

5. Признаки переходного и установившегося режимов работы САР

Можно ли, изучая выходной сигнал САР, определить, работает она на данном отрезке времени в переходном или установившемся режиме? Для этого нужно более точно сформулировать, что такое переходный и что такое установившийся режимы с практической точки зрения.

gif-file, 20KB

Рис. 8. Уменьшение размаха переходного процесса по мере сглаживания возмущения, поступающего на колебательное звено. Красная кривая - переходный процесс при идеальном ступенчатом воздействии. Синяя и зеленая кривые соответствуют все более сглаженному ступенчатому воздействию. Голубая кривая - существенно сглаженное ступенчатое воздействие, при котором интенсивность переходного процесса значительно снижена (фиолетовая кривая)

На рис. 8 сигналы, поступающие на три нижних колебательных звена, предварительно сглаживаются фильтрами, состоящими из двух последовательно включенных апериодических звеньев. Инерционность этих звеньев выбрана нарастающей сверху вниз, что обеспечивает все большее сглаживание ступенчатой функции.

gif-file, 20KB

Рис. 9. Нарастание воздействия со скоростью примерно 8 ед/сек сопровождается заметным переходным процессом (голубая линия), при скорости 4 ед/сек переходный процесс существенно слабее (зеленая) и при скорости 2 ед/сек переходный процесс практически отсутствует (красная кривая)

gif-file, 20KB

Рис. 10. Более крупный масштаб позволяет рассмотреть величины отклонений выходных величин колебательных звеньев от входных. Для красной кривой максимальное отклонение от задающего (синего) воздействия составляет относительно малую величину 0,1, т.е. колебательная система практически успевает отслеживать "синий" сигнал и отклонения уже можно трактовать не как переходный процесс, а как ошибку установившегося режима, определяемую коэффициентами ошибок системы

Таким образом, с практической точки зрения между переходным и установившимся режимами работы системы существует сравнительно размытая граница. Ее можно определять, задавая критическую скорость изменения воздействия, при которой величина переходного процесса становится пренебрежимо малой, например, менее 5 %. Эта скорость для конкретной системы будет определяться коэффициентами ошибок системы с1 и с2.

Отметим, что в линейных системах формально переходный процесс длится бесконечно, поскольку выходной сигнал приближается к установившемуся значению асимптотически. На практике считается, что переходный процесс закончился в момент, когда его величина уменьшается в 20 раз по сравнению с максимальным его значением. В линейных амплитудно-импульсных системах при некоторых условиях переходный процесс может длиться конечное время. Тем не менее, и в АИСАР, как и в непрерывных САР, переходный процесс может при определенных условиях отсутствовать или составлять малую часть сигнала установившегося режима.

6. О приближенном описании установившегося режима

Передаточную функцию САР можно разложить в ряд по степеням s:

(4)

gif-file, 20KB

тогда, очевидно, выходной сигнал САР примет вид:

(5)

y(t) = g0 x(t) + g1 x'(t) + g2 x''(t) / 2 + ... .

Как видно, коэффициенты gk позволяют определить значение выходного сигнала системы, находящейся под воздействием x(t). Поэтому эти коэффициенты могут быть названы, например, коэффициентами отклика или реакции системы на воздействие. (Термины "переходный" и "передаточный" уже используются для определения других понятий). Первые коэффициенты отклика системы, по аналогии с коэффициентами ошибок, могут быть названы: g0 - коэффициентом отклика по положению, g1 - коэффициентом отклика по скорости, g2 - коэффициентом отклика по ускорению.

Немаловажен для практики вопрос о скорости сходимости ряда (5). Дело упрощается, когда воздействие x(t) имеет ограниченное число ненулевых производных. Это позволяет облегчить описание установившегося режима работы системы.

Для системы (3), ограничиваясь первыми тремя членами разложения, можно получить:

Φ(s) series, s, 3 →  k + (kb1 - ka2) s + [kb2 - ka1 + (- kb1 + ka2) a2s 2 ,
или
Φ(s) ≈ k [1 + (b1 - a2) s + [b2 - a1 + (a2 - b1) a2s 2] ,
(разложение выполнено в программе MathCAD).

Таким образом, коэффициенты отклика системы (3) имеют вид: gk; gk(b1 - a2); g2 = k(b2 - a1 + (a2 - b1a2).

Рассмотрим модель САР в виде апериодического звена. Для многих, даже сложных объектов и систем в определенных пределах это вполне адекватная модель. Передаточная функция апериодического звена может быть разложена в ряд по степеням s:

(6)

Φ(s) = k / (1 + Ts) = k (1 - Ts + T 2s 2 - T 3s 3 + ...) ,

тогда, первые коэффициенты отклика в (5) равны: gk; g1 = - kT; g2 = kT 2. Пусть k = 2,3; T = 0,2 сек. Выходной сигнал апериодического звена, как отклик на воздействие x(t), в соответствии с (5) определится рядом:

(7)

y(t) = 2,3 x(t) - 0,46 x'(t) + 0,096 x''(t) + ... .

Ограничим ряд (6) тремя слагаемыми:

(8)

Φ3(s) = k (1 - Ts + T 2s 2) .

Пусть на входе звена действует линейно растущий с нулевого момента времени, сглаженный, сигнал:

gif-file, 20KB

Рис. 11. Полная и усеченная модели дают в установившемся режиме одинаковые результаты. Переходный процесс заканчивается к концу третьей четверти первой секунды и далее, в установившемся режиме усеченный ряд, состоящий из трех слагаемых, совпадает с выходным сигналом апериодического звена (красная кривая покрывается зеленой)

Как известно [3], система с передаточной функцией (8) в соответствии с критерием Пэли - Винера не реализуема [3, стр. 193], поскольку степень полинома числителя (равная 2) больше степени полинома знаменателя (равной 0). Тем не менее, для (8) может быть построена ее математическая модель:

gif-file, 20KB

Рис. 12. Модель усеченного ряда разложения передаточной функции апериодического звена. Модель, определяя производные, тем самым прогнозирует значение выходного сигнала, она адекватна апериодическому звену в установившемся режиме

Как видно из рис. 11, нереализуемая модель рис. 12 обеспечивает тот же отклик, что и вполне реализуемое апериодическое звено. Сравнивая схему рис. 12 со схемой рис. 7 можно отметить, что усеченная модель вида рис. 12, полученная разложением передаточной функции в усеченный ряд, учитывает и инерционную часть схемы рис. 7, состоящую из интеграторов, охваченных обратными связями, моделирующими инерционность. Учет этот осуществляется только коэффициентами пропорциональности (коэффициентами отклика) и этого достаточно для правильной оценки реакции на воздействие в установившемся режиме! Важный вопрос о скорости сходимости ряда с физической точки зрения сводится к тому, что модель состоятельна в установившемся режиме, другими словами, при сравнительно медленно изменяющихся воздействиях. В этом случае поведение частотной характеристики модели системы на частотах, более высоких, чем ширина спектра воздействия роли не играет и всегда можно ввести достаточную инерционность с тем, чтобы нереализуемую модель заменить реализуемой.

Отметим, что ограничение двумя слагаемыми ряда разложения передаточной функции сводит усеченную модель любого порядка к усеченной модели апериодического звена.

Известным недостатком моделей вида рис. 12 является то, что реальные сигналы сопровождаются аддитивными шумами, а операция дифференцирования их существенно "выпячивает".

Заключение

В проведенном рассмотрении основное внимание уделялось переходным и установившимся режимам в системах управления, но его идеи и результаты могут быть перенесены и на другие объекты и системы, в том числе и на электрические цепи.

  1. Признаки переходного и установившегося режимов:
  2. Для линейной системы можно подобрать такой режим изменения задающих (управляющих) воздействий, чтобы переходный процесс отсутствовал. Для этого нужно определять выходные напряжения интеграторов модели на момент резкого изменения управляющего сигнала и соответствующим образом задавать, сглаживать значения сигнала перехода к новому режиму и младших его производных.
  3. Основные показатели качества переходного режима - это время регулирования, характеризующее быстродействие системы в переходном режиме, и перерегулирование. Быстродействие системы в установившемся режиме можно характеризовать коэффициентами ошибки системы по скорости и ускорению или соответствующими коэффициентами отклика.
  4. Формально, решение дифференциального уравнения состоит из суммы свободной и принужденной составляющих (общего решения однородного и частного решения неоднородного дифференциальных уравнений). Свободная составляющая ассоциируется с переходным процессом, а установившийся процесс наступает, когда переходный заканчивается. В результате, установившийся режим определяется принужденной составляющей. Если в конкретной задаче величина переходного процесса пренебрежимо мала по сравнению с принужденной составляющей, то реакцию системы можно рассматривать и рассчитывать как установившийся режим, с использованием коэффициентов отклика. Другим основанием применения формулы (7) для определения реакции системы могут служить задачи, в которых переходные процессы случаются редко и связанные с ними кратковременные ошибки не приводят к существенному общему искажению реакции.

Литература

  1. Лукас В. А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.: ил.
  2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. - М.,: Наука, 1972. -768 с.
  3. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высш. шк. 1988. - 448 с.: ил.

4.08.2003