Федосов Борис Трофимович
РИИ, Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

Классификация типовых звеньев на основе свойств линейных систем

Традиционно типовые звенья линейных систем классифицируются на основе формального признака – степени дифференциального уравнения [1-7] и др. При этом без особых обоснований, классификация простирается только до звеньев второго порядка включительно. Но есть более глубокие основания для классификации звеньев. Это совокупность свойств линейной системы, которыми обладает то или иное звено.

1. Свойства линейных систем

На основе изучения многих моделей систем, можно придти к выводу, что системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, несмотря на все их многообразие, обладают весьма ограниченным числом основных свойств. Эти свойства следующие:

Строгого доказательства, что этот список является исчерпывающим, на сегодня не существует, но, основываясь на опыте, можно утверждать, что это так. Добавление в список некоторых свойств, например способности системы неоднократно терять и приобретать устойчивость при изменении некоторого ее параметра, не приводит к принципиальным отличиям. Исключение каких-то свойств не позволяет получить исчерпывающий список, поскольку исключаемое свойство нельзя заменить некоторой комбинацией, выразить оставленными.

Перечисленные свойства линейных систем, за исключением прогнозируемости, безусловно, хорошо известны. Они расположены в списке по мере увеличения сложности, указанные ниже основываются на предыдущих свойствах.

О прогнозируемости следует сказать отдельно. Анализ линейных систем показал, что они в той или иной мере обладают свойством, позволяющим предсказывать их поведение на некоторый, пусть небольшой, промежуток времени. Это свойство обусловлено, в том числе и инерционностью системы, опирается на него, но, тем не менее, отличается настолько, что заслуживает отдельного названия и включения в список основных свойств линейной системы. Исходя из особенностей рассматриваемого свойства, его можно назвать прогнозируемостью.

Прогнозируемость системы определяется ее инерционностью и способом приложения к ней внешних воздействий. Прогнозируемость системы или звена может быть определена количественно. Не вдаваясь в подробности, уводящие от темы настоящей работы, можно сказать, что для систем с дробно-рациональной передаточной функцией прогнозируемость звена численно может быть определена как разность числа полюсов и числа нулей его передаточной функции.

В формальной, традиционной классификации, основанной на степени дифференциального уравнения звена, звено запаздывания выпадает из классификации, поскольку описывается не дифференциальным уравнением, или, если угодно, дифференциальным уравнением бесконечной степени. Поэтому включение его в традиционный набор типовых звеньев выглядит вынужденным, натужным. Но и отказаться от такого звена, естественно, невозможно. Положив в основу классификации звеньев не формальный признак, а объективно существующую, ограниченную совокупность основных свойств линейных систем, можно избежать и этого затруднения.

2. Классификация типовых звеньев линейных систем

Предлагаемая классификация типовых звеньев линейных систем внешне мало отличается от традиционной, в ней лишь добавлено звено третьего порядка, которое предлагается назвать звеном Вышнеградского, в честь автора знаменитой диаграммы. По существу же, отличие предлагаемой классификации более глубокое: она основывается на степени обладания звеном главными свойствами линейных систем.
Итак, классификация следующая:

  1. Простейшие или фундаментальные звенья:
  2. Звенья первого порядка:
  3. Звенья второго порядка:
  4. Звенья третьего порядка:
  5. Звено запаздывания.

Включаемые в классификацию звенья обладают всеми свойствами предыдущих, более простых звеньев, а, кроме того, и еще одним, более сложным свойством.
Как известно, звено Вышнеградского с передаточной функцией:

gif-file, 20KB

это самое простое из звеньев с положительными коэффициентами характеристического полинома, способных терять устойчивость. Это и является основанием для его включения в классификацию.

Заключение

Цель методической работы – максимально просто и доступно, и не в ущерб строгости изложить сложные вопросы. Даже в таких устоявшихся, классических дисциплинах, как, например, теория автоматического управления, имеется для этого поле деятельности. Одним из таких вопросов является далеко не первой важности, на первый взгляд, вопрос классификации типовых звеньев. Построение классификации на основе свойств линейных систем позволяет придать теории более глубокое содержание, нежели традиционный, чисто формальный, подход, опирающийся на степень дифференциального уравнения. Тем не менее, привнесение новизны не может и не должно являться самоцелью.

Линейные системы, как модели реальных объектов, обладают весьма ограниченным набором основных свойств. Эти свойства могут служить основой для классификации типовых звеньев. Такая классификация позволяет естественным образом дополнить классическую классификацию звеном третьего порядка и звеном запаздывания.

Литература

  1. Лукас В. А. ТАУ. -М.: Недра, 1990, 416 с.
  2. Юревич Е. И. ТАУ. Энергия, Ленинград, 1975, 416 с.
  3. ТАУ. Под ред. Воронова А. А. ч.1. -М.: Высш. шк., 1986, 367 с.
  4. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. Пер с англ. под ред. Проф. Тихонова В. И. -М.: Сов. Радио, 1972, 744 с.
  5. Клюев А. С. Автоматическое регулирование. М., Энергия, 1973.
  6. Иванов А. А. ТАУР. М., Недра, 1970, 352 с.
  7. ТАУ. Ред. Нетушил А. В. М., Высш. шк., 1976, 400 с.

Приложение. О терминологии, связанной с колебательным звеном и его свойствами и характеристиками

Некоторым терминам, например "фаза", "система" не повезло: их употребляют в весьма разных смыслах. В теории автоматического управления одним из таких терминов является "апериодический". Проиллюстрируем это утверждение на примере терминологии, связанной с переходной функцией колебательного звена:

gif-file, 20KB

Рис. 1. Названия переходных процессов колебательного звена при различных значениях декремента затухания. Как видно, у апериодического звена второго порядка переходный процесс является не апериодическим, а монотонным. В то же время у колебательного звена переходный процесс может быть не только колебательным, но и апериодическим и даже монотонным

12.11.2002