Клиначёв Николай Васильевич

О технике измерений частотных характеристик моделей систем посредствам обработки их импульсной характеристики алгоритмом быстрого преобразования Фурье

Стандартом для пакетов математического моделирования динамических систем является наличие библиотеки частотного анализа (например, VisSim\Analyze). По сути, расширения, о которых идет речь, ни какого "анализа" во временном домене не выполняют. Алгоритмы, заложенные в их основу, на первых шагах симуляции модели составляют "образ модели" в виде одной передаточной функции, отслеживая значения сигналов на входах / выходах интеграторов для уточняя ее коэффициентов; после чего выполняется расчет частотной характеристики.

Очевидны недостатки данных вычислительных алгоритмов. К примеру, если модель дискретная, а не непрерывная (т.е. построена на регистрах задержки, а не на интеграторах), то формула для расчета частотной характеристики становится сложней. Не у всех моделирующих программ вычислительные алгоритмы анализа справляются с данной задачей. Например, VisSim может вычислить частотную характеристику дискретной модели только в том случае, если она представлена библиотечным блоком "передаточнаяФункция" (transferFunction). Вторым серьезным недостатком вычислительных алгоритмов является тот факт, что вы можете столкнуться с несоответствием между временным и частотным доменами у одной модели. При использовании вычислительных алгоритмов полагают, что фазовый сдвиг одного интегратора не зависит от частоты и равен -90°, однако для классических методов интегрирования это не так (см. рис. 1).

Демонстрация несоответствий между временным и частотным доменами у одной модели

На рисунке показаны переходные процессы системы, вызванные ненулевыми начальными условиями. Частотная характеристика разомкнутой системы очевидна (-40 дБ/дек. & -180°), и вычислительные алгоритмы частотного анализа ее подтверждают. Но симуляция движения координат модели выявляет несоответствия между временным и частотным доменами при переключении методов интегрирования (прямому методу Эйлера соответствует расходящийся переходный процесс; обратному методу Эйлера – сходящийся; методу трапеций – синусоида с постоянной амплитудой)

Рис. 1

В свете названных недостатков вычислительных алгоритмов становится очевидна актуальность развития измерительных алгоритмов частотного анализа. Все измерительные алгоритмы следует поделить на две группы. Одна группа алгоритмов должна учитывать тот факт, что в реальных системах существуют ограничительные эффекты (эффект насыщения, эффект квантования коэффициентов). Другая, будучи ориентирована исключительно на компьютерные модели, может не учитывать их (модель почти любой системы можно составить без ограничительных аспектов, а перегрузка мантиссы или показателя степени числа двойной точности с плавающей точкой маловероятна).

Начнем с простейшего, и опишем методику измерения частотной характеристики модели системы посредствам обработки ее импульсной характеристики алгоритмом быстрого преобразования Фурье.

Схема измерения частотных характеристик посредствам обработки импулсьной характеристики модели системы алгоритмом быстрого преобразования Фурье

Измерения частотных характеристик выполнены для двух дискретных фильтров с конечной импульсной характеристикой (FIR). Операция быстрого преобразования Фурье1 (нижний график) выполнена библиотечным блоком осциллограф программы VisSim (в свойствах блока осциллограф активирован режим вычисления БПФ для осциллограммы)

Рис. 2

На рис. 2 показана схема измерения частотных характеристик. На модель системы подается дельта-функция (составной блок "delta(t) * M:FFT"). Реакция системы фиксируется двумя осциллографами, один из которых настроен на вычисление в конце моделирования БПФ для зарегистрированной осциллограммы. Уточним данные эксперимента, для желающих его повторить:

Блок-схема формирования дельта-импульса и его масштабирования

Рис. 3

На рис. 3 показана блок-схема формирователя дельта-импульса (грубая модель дельта-функции), который используется в схеме измерения частотной характеристики, изображенной на рис. 2 и 4 (т.е. это внутренняя схема составного блока "delta(t) * M:FFT"). В блок-схеме формирователя можно выделить 4 основных узла. Вверху, слева – генератор дельта-импульса. Далее импульс задерживается на один шаг симуляции звеном чистого запаздывания. Эта операция необходима для корректной обработки импульса интеграторами модели, в случае активации тех методов интегрирования, которые для расчета текущей точки используют историческую информацию о тенденциях приращений на предыдущих шагах симуляции. За тем, выполняется масштабирование амплитуды дельта-импульса под коэффициент передачи визуализирующего блока VisSim-а осциллограф, работающего в режиме вычисления БПФ. В нижней части блок-схемы формирователя собран счетчик шагов для автоматического завершения процесса симуляции. Его наличие не обязательно. Счетчик лишь позволяет вам установить заведомо большее, чем требуется, время завершения симуляции, и не беспокоится о нем при экспериментах с моделью.

Демонстрация затруднения, возникающего при измерении частотных характеристик систем, обладающих бесконечной импульсной характеристикой. Логарифмический масштаб частотной оси и кратная двойке сетка выходного массива БПФ ограничивают разрешение по частоте в низкочастотном диапазоне

Измерения частотных характеристик выполнены для модели колебательного звена и инверсного фильтра Чебышева десятого порядка, т.е. для двух непрерывных систем с бесконечной импульсной характеристикой (IIR)

Рис. 4

Описанный метод, как и любой другой, имеет недостатки. Рассмотрим важнейшие, дабы более четко определить случаи, когда метод следует использовать. Известно, что всю совокупность моделей технических устройств можно представить двумя группами:

Эта классификация упоминается здесь в связи с тем, что, в большинстве случаев, частотные характеристики КИХ-фильтров представляются в линейном масштабе по оси частот (см. рис. 2), а частотные характеристики БИХ-фильтров, напротив, представляются в логарифмическом масштабе по оси частот (см. рис. 4). Очевидно ограничение описываемого метода при измерении частотных характеристик непрерывных систем (БИХ-фильтров) – кратная двойке сетка анализируемых гармоник в выходном массиве процедуры БПФ ограничивает разрешение по частоте в низкочастотном диапазоне. Увеличение частотного диапазона на декаду требует увеличения времени симуляции в десять раз.

Укажем способ повышения разрешающей способности метода в этой ситуации, в области низких частот. Модели непрерывных систем (БИХ-фильтров) строятся на интеграторах, и, вариация шага симуляции не масштабирует частотный диапазон, как это происходит в случае с КИХ-фильтрами, которые строятся на регистрах задержки. Очевидно, что границы требуемого диапазона вариации шага симуляции для уточнения низкочастотной области отличаются всего в два раза, что легко реализуемо.

Если же задаться целью адаптации метода к измерению частотных характеристик реальных систем, а не моделей, то для ее достижения нужно заменить возмущающее воздействие (дельта-функцию) сигналом, который не вызывал бы ограничительных эффектов. Это может быть суперпозиция синусоид или белый шум. В последнем случае необходимы: генератор, выдающий пару десятков не повторяющихся псевдослучайных последовательностей; функции окон для взвешивания массива измерительной информации и ослабления эффекта наложения частот; совокупность матричных блоков, обеспечивающая усреднение результатов повторных измерений.

Резюме:

Литература

  1. Клиначёв Н. В. Измерения ЛАЧХ & ЛФЧХ в моделирующих пакетах. – Website: http://model.exponenta.ru/achx.html, Челябинск, 2001.
  2. Steven W. Smith. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. Second Edition. – California Technical Publishing, 1999. Website: www.DSPguide.com
  3. Craig Marven, Gillian Ewers. A simple approach to digital signal processing. – A Wiley-Interscience publication,1996.
  4. Библиотека динамического спектрального анализа программы LabVIEW 6.0.1. – Website: www.ni.com

1) В более строгом определении результат операции БПФ – это массив той же размерности, что и входной, содержащий парные коэффициенты – вещественные и мнимые составляющие гармоник. Зная вещественную и мнимую составляющие синусоиды (гармоники), по теореме Пифагора можно уточнить ее амплитуду (гипотенузу) и угол до нее (фазу). Блок VisSim-a осциллограф автоматически вычисляет амплитуду гармоник, и, поэтому, выходной массив получается в два раза меньше входного. Фазу гармоник осциллограф не вычисляет. Вы можете отправить письмо фирме изготовителю программы VisSim с просьбой исправить этот досадный недочет (готовое письмо).

2) Идеальная дельта-функция имеет бесконечную амплитуду. В моделях ее представляют импульсом с конечной амплитудой, длительностью в один шаг симуляции, с площадью равной 1.

3) Для синусоидальных сигналов существует понятие действующего значения A, которое в корень из двух раз меньше амплитудного Am, т.е. A = 0.707Am, (для вычисления мощности используются действующие значения; угол отклонения стрелок всех электромеханических преобразователей так же пропорционален действующему, а не амплитудному значению). Вероятно этим определен установленный масштаб для операции БПФ блока осциллограф.

7.01.2003