С разрешения авторов, электронная копия статьи:
Динамические модели вентильного двигателя при различных сочетаниях параметров/ С. Г. Воронин, Д. В. Коробатов, Р. Т. Киякпаев, А. С. Кульмухаметова. //Известия Академии электротехнических наук РФ. Издание Академии электротехнических наук РФ. – М.: "Янус-К" – №12, 2011. – с. 47-52.

С.Г. Воронин, Д.В. Коробатов,
Р.Т. Киякпаев, А.С. Кульмухаметова
г. Челябинск, ФГБОУ ВПО ЮУрГУ

УДК: 621.3.07

Динамические модели вентильного двигателя при различных сочетаниях параметров

Аннотация. Исследуются динамические процессы вентильного двигателя (ВД) и определяются условия, при которых его динамическая модель может быть представлена либо эквивалентный динамической моделью коллекторного двигателя, либо как динамическая модель синхронного двигателя с фиксированным $θ$.

Вентильные двигатели (ВД) находят все более широкое применение в различных электромеханических системах и электроприводе. До последнего времени применялись ВД с коммутацией секций по сигналам дискретного датчика положения ротора (ДПР) [1]. При исследовании систем электропривода с этими двигателями динамические процессы электромагнитного преобразования энергии в их статорной (якорной) цепи чаще всего моделируются апериодическим звеном, как это делается для классических коллекторных двигателей постоянного тока независимого возбуждения [1, 2]. Представление динамической модели ВД в таком виде весьма удобно, так как в этом случае синтез систем управления может быть просто осуществлен с использованием стандартных настроек, принятых в электроприводе [3].

Между тем, конструктивно ВД аналогичен многофазному синхронному двигателю, где электромагнитные процессы гораздо сложнее. Появление компактных импульсных датчиков угла и энкодеров с высокой разрешающей способностью в сочетании с микропроцессорными устройствами управления позволило с помощью ШИМ-управления формировать на фазных обмотках ВД синусоидальное напряжение по сигналам ДПР. В результате ВД не только с конструктивной точки зрения, но и с точки зрения электромагнитных процессов оказался аналогичным синхронному двигателю, питающемуся от многофазного полупроводникового коммутатора синусоидальным напряжением. Отличие заключается только в том, что в ВД угол нагрузки ($θ$) не зависит от момента на валу, а устанавливается ДПР, остается неизменным и называется углом коммутации. Следовательно, электромагнитные процессы статорной цепи ВД должны описываться такими же уравнениями, что и у синхронного двигателя, но с фиксированным $θ$. Кстати, при описании статических характеристик ВД часто использовался именно такой подход. Например, в [4] механическая характеристика ВД получена из уравнения угловой моментной характеристики синхронного двигателя с неявно выраженными полюсами при фиксированном θ. Динамические модели ВД также в некоторых случаях рассматривается с позиции теории синхронных двигателей. Однако при этом получаются громоздкие нелинейные модели, неудобные для решения в общем виде задач анализа и синтеза систем управления [5, 6]. По существу динамическая модель исполнительного двигателя при описании его в виде синхронной машины иногда оказывается сложнее и имеет более высокий порядок, чем остальная часть системы. Хотя, как показывает практика, при синтезе систем управления во многих случаях можно обойтись более простой моделью ВД.

В настоящей статье предпринята попытка определения условий, при которых динамические процессы в ВД могут рассматриваться либо как в эквивалентном коллекторном двигателе, то есть в виде линейных дифференциальных уравнений, либо как в синхронном двигателе с фиксированным $θ$, т.е. в виде нелинейной модели с перекрестными связями. Также приводится уточнённая линеаризованная в окрестности рабочей точки динамическая модель двигателя.

Для упрощения задачи предположим, что в $n$-фазном ВД имеем ротор с неявновыраженными полюсами в виде постоянных магнитов. Поэтому можно считать, что индуктивности по продольной и поперечной осям статорной обмотки одинаковы ($L_d=L_q=L$). Тогда, в соответствии с общей теорией электромеханического преобразования энергии, уравнения напряжений статорной цепи двигателя во вращающейся системе координат получат вид:

(1)

.

Здесь $U_d=-n/2·U·\sin θ$, $U_q=n/2·U·\cos θ$ соответственно напряжения по осям $d$ и $q$, $U$ – действующее значение фазного напряжения, $n$ – число фаз двигателя, $I_d$, $I_q$ – соответственно токи по осям, $r$ – активное сопротивление, $L$ – полная индуктивность фазной обмотки, $ω$ – частота вращения ротора в электрических координатах, $e=n/2·E$ – действующее значение э.д.с. вращения статорной обмотки по оси $q$, $E$ – действующее значение фазной э.д.с.

Предположим, что действующее значение фазного напряжения с помощью ШИМ-регулирования может изменяться от максимального до нулевого значения, и перепишем систему уравнений (1) в относительных единицах, приняв за базовые значения $U_б=n/2·U$, $I_б=U_б/r$. В результате получим

(2)

где $γ\in(0,\,1)$ – относительная длительность импульсов ШИМ-регулирования, $ε$ – относительная э.д.с или относительная частота вращения ротора, $τ_э=ω_0 L/r$ – электромагнитная постоянная времени обмотки якоря в относительных единицах, в масштабе времени $τ=ω_0·t$, $ω_0=U_б/(KΦ)$, $KΦ$ – коэффициент связи между действующим значением фазной э.д.с. и частотой вращения ротора.

Приняв скорость двигателя постоянной ($e=\const$), а также учитывая, что $θ=\const$, и относительный электромагнитный момент равен току по поперечной оси ($μ=i_q$), найдем дифференциальное уравнение, определяющее изменения момента $μ(p)$ при изменении напряжения питания двигателя $γ(p)$

(3)

где $p=d/dτ$ – оператор дифференцирования, $τ=ω_0·t$ – искусственное безразмерное время.

Рисунок 1 – Переходные процессы изменения момента двигателя при ступенчатом изменении напряжения и неизменной скорости вращения: а) при $τ_э\lt\lt1/ε$; б) при $τ_э=1/ε$; в) при $τ_э\gt1/ε$; кривые 1 получены в результате расчета по уравнению (3), кривые 2 получены в результате расчета на модели (рисунок 2)

Характер протекания свободной составляющей переходного процесса электромагнитного преобразования энергии определяется корнями характеристического уравнения, которые найдем, приравняв знаменатель уравнения (3) нулю. В результате получим $h_{1,2}=-1/τ_э\pm jε$.

Последнее выражение показывает, что электромагнитные переходные процессы в статорной цепи имеют колебательный характер. Причем важно, что частота колебаний не зависит от параметров двигателя, а равна частоте вращения ротора. Следовательно, при $τ_э\lt\lt1/ε$ колебательной составляющей переходного процесса можно пренебречь, так как время его затухания существенно меньше периода колебаний. Это подтверждается результатами моделирования (кривая 1, рисунок 1а).

Отсюда можно заключить, что при выполнении условия $τ_э\lt\lt1/ε$ мы можем рассматривать статорную цепь двигателя как апериодическое звено с постоянным линеаризованными параметрами, зависящими от точки установившегося режима.

В этом случае линеаризованная структурная схема статорной цепи оказывается аналогичной модели коллекторного двигателя и в относительных единицах может быть представлена в виде, показанном сплошными линиями на рисунок 2, где: $k_1(θ)$ учитывает влияние угла коммутации на момент двигателя, а $k_2(τ_{э0})$ учитывает зависимость сопротивления статорной цепи от частоты вращения в рабочей точке установившегося режима. Выражения для коэффициентов $k_1(θ)$ и $k_2(τ_{э0})$ определяются точкой установившегося режима работы ВД и методом малых отклонений достаточно просто могут быть получены из уравнения механической характеристики двигателя в относительных единицах

(4)

.

Разделяя в уравнении (4) составляющие, связанные с углом коммутации ($θ$) и относительным полным сопротивлением статорной цепи ($τ_эε_0$), получим

(5)

$k_1(θ)=\cos θ + τ_э ε_0 \sin θ$,     $k_2(τ_{э0})=1/(1+(τ_э ε_0)^2)$

где $ε_0$ – относительная скорость двигателя в точке установившегося режима.

Сравнение кривой переходного процесса в статорной цепи, рассчитанной по уравнениям (3) (график 1, рисунок 1а) с кривой переходного процесса, рассчитанного на модели эквивалентного коллекторного двигателя (график 2, рисунок 1а) подтверждает адекватность эквивалентной модели при выполнении условия $τ_э\lt\lt1/ε$. Действительно, в этом случае качественно характер переходных процессов, полученных с помощью приближенной и точной модели, по виду совпадают друг с другом. Количественно разница установившегося значения скорости $Δε=0,2%$. Следовательно, линейная модель может быть использована для решения задач приближенного синтеза систем, в которых применяется данный двигатель. При этом для точного анализа процессов в синтезированной системе с целью уточнения параметров регулятора рекомендуется использование уточненной нелинейной модели.

Если электромагнитная постоянная окажется близкой или больше $1/ε$ переходный процесс, рассчитанный по уравнениям (3), становится колебательным (график 1, рисунок 1б, в), а модель (рисунок 2) оказывается неадекватной реальным процессам (график 2, рисунок 1б, в) и с этим придется считаться. Расчеты показали, что для практического использования может быть принято граничное значение соотношения параметров перехода от эквивалентной модели к реальной $τ_э=1/(4ε)$.

Рисунок 2 – Структурная схема динамической модели ВД, приближенно представленного эквивалентным коллекторному двигателю

Теперь оценим, при каких условиях можно рассматривать ВД с учетом механической части привода в том же виде, что и коллекторный двигатель. Для этого дополним уравнение (3) уравнением движения механической части привода, представленным в относительных единицах с учетом принятой ранее системы относительных единиц

(6)

$τ_m·p·ε=μ-μ_с$

где $τ_m$ – относительная механическая постоянная времени двигателя, $μ_с$ – относительное значение момента сопротивления вращению. При этом

$τ_m=T_mω_0$, $T_m=Jr/(KΦ)^2$

где $J$ – момент инерции вращающихся частей привода, приведенный к валу двигателя.

Как известно, при выполнении условия

(7)

$τ_m≥4τ_э$

коллекторный двигатель можно рассматривать как апериодическое звено второго порядка. В противном случае – как колебательное звено. Было проведено моделирование переходного процесса при одинаковом начальном установившемся значении координат двигателя и таком же, что и в первом случае ступенчатом изменении $γ$, но при разных значениях $τ_э$. При этом предполагалось, что условие (7) всегда выполняется (принималось $τ_m=5τ_э$). Фиксировался характер изменения относительной скорости, рассчитанной по уравнениям (3) и (6), а также полученный по приближенной модели (рисунок 2) и уравнению (6) для различных значений $τ_э$. Анализ результатов моделирования показал, что при любых значениях $τ_э$ в случае соблюдения условия (7) ВД может быть рассмотрен как коллекторный двигатель, т.е. представлен моделью (рисунок 2). При этом отличие координат, рассчитанных по приближенным и точным соотношениям, не превышает нескольких процентов. Это объясняется тем, что относительно большая электромеханическая постоянная двигателя фильтрует колебательную составляющую переходного процесса статорной цепи.

Если условие (7) не выполняется, то, как это следует из рисунка 3, динамическая модель ВД может быть представлена эквивалентной моделью коллекторного двигателя только при выполнении того же условия $τ_э\lt\lt1/ε$ (кривые 1 и 2, рисунок 3а и рисунок 3б). В противном случае, характер переходных процессов, рассчитанных на эквивалентной модели (кривая 2, рисунок 3в) качественно отличается от переходного процесса, полученного на исходной модели (кривая 1, рисунок 3в), т.е. с точки зрения динамических свойств ВД не может быть представлен эквивалентной моделью коллекторного двигателя.

Из теории электропривода известно, что если электромеханическая постоянная времени коллекторного двигателя ($τ_m$) по крайней мере, на порядок больше электромагнитной постоянной времени обмотки ($τ_э$), то передаточную функцию двигателя приближенно можно представить в виде произведения двух апериодических звеньев первого порядка. Проверим, при каких значениях $τ_э$ такое приближенное представление возможно для ВД. Для этого запишем передаточную функцию ВД в виде

(8)

Далее, принимая $τ_m=10τ_э$, по выражениям (3), (6) (кривая 1, рисунок 4) и по выражению (8) (кривая 2, рисунок 4) рассчитаем переходный процесс отработки ступенчатого возмущения по напряжению.

Рисунок 3 – Переходные процессы изменения скорости двигателя при ступенчатом изменении напряжения: а) при $τ_э = 0,05$; б) при $τ_э = 0,25$; в) при $τ_э = 0,5$; кривые 1 рассчитаны с использованием уравнения (3), кривые 2 – на основе модели (рисунок 2)

Результаты моделирования для $τ_э = 1$ представлены на рисунке 4, который показывает практическое совпадение кривых переходных процессов. Такой же результат получен и при других, существенно больших единицы значениях $τ_э$.

Рисунок 4 – Переходный процесс изменения скорости при ступенчатом изменении напряжения питания двигателя и $τ_m = 10 τ_э$: кривая 1 получена в результате расчета по уравнениям (3) и (6); кривая 2 по передаточной функции (8)

Таким образом, можно заключить:

1. При приближенном выполнении условия $τ_э≤1/(4ε)$ статорная цепь ВД может рассматриваться как апериодическое звено первого порядка. Во всех других случаях необходимо ее рассматривать как колебательное звено.

2. Если выполняется условие (7), то без ограничения динамическая модель ВД может быть представлена эквивалентной моделью коллекторного двигателя (рисунок 2). Если условие (7) не выполняется, то представление ВД эквивалентной моделью коллекторного двигателя (рисунок 2) возможно только при выполнении условия, указанного в п.1. В противном случае для описания динамических процессов придется использовать уравнения (3) и (6).

3. При выполнении условия $τ_m≥10 τ_э$ динамическая модель ВД без ограничений приближенно может быть представлена передаточной функцией (8).

Библиографический список

  1. Овчинников И.Е., Лебедев Н.И. Бесконтактные двигатели постоянного тока с транзисторными коммутаторами. Л., Наука, 1979. – 270с.
  2. Михалев А.С., Миловзоров В.П. Следящие системы с бесконтактными двигателями постоянного тока. – М.: Энергия, 1979. – 160с.
  3. Башарин А.В., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами: Учебное пособие для вузов. – Л.: Энергоиздат, 1982. – 392 с.
  4. Микроэлектродвигатели для систем автоматики (Технический справочник). Под ред. Э.А. Лодочникова, Ю.М. Юферова. – М.: Энергия, 1969. – 212с.
  5. Воронин С.Г. Электропривод летательных аппаратов: Конспект лекций. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2006. – Ч.1 – 171с.
  6. Герман – Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в MATHLAB 6.0: Учебное пособие. – СПб.: КОРОНА принт, 2001. – 320 с.

29.09.2012

Клиначёв Николай Васильевич
ICQ: 253060497

Приложение. Модели к численным экспериментам, подтверждающим выводы статьи

Для подтверждения выводов статьи ниже по тексту приводиться совокупность моделей, которую можно адаптировать для любого синхронного двигателя с возбуждением от постоянных магнитов. Паспорт СДПМ и эквивалентного ему ДПТ, чьи параметры установлены в модели, приведен в таблицах 1 и 2.

                                                             Таблица 1
+--------------+---+----+--------+-------+----------+----------------+
|  Тип СДПМ    | m | Zp |   Ke   |   J   | R_ф  L_ф | I_фm  Mн   Pн  |
|              |          В/рад/с  kg*m^2  mOm   mH     A   Nm    W  |
| HJ190K8-360S | 3   1      2.8    0.029   385   8    (16)  67  13к4 |
+--------------+---+----+--------+-------+----------+----------------+
Мхх = 1.20 [Nm]
                                                             Таблица 2
+--------------+--------+--------+-------+----------+----------------+
|   Экв. ДПТ   |   E_я  |   KФ   |   J   | R_я  L_я |  Iн   Mн   Pн  |
|   условие:   |    В     В/рад/с  kg*m^2  mOm   mH     A   Nm    W  |
|   Uя = Uфm   |   560      2.8    0.029   257  5.33   24    -    -  |
+--------------+--------+--------+-------+----------+----------------+

На чертежах 1 и 2 представлены модели, которые позволяют сравнить движение координат СДПМ и эквивалентного ему ДПТ в опыте прямого включения в сеть. Для СДПМ этот опыт виртуальный. Предполагается подключение двигателя к идеальному трехфазному источнику ЭДС, с номинальным для двигателя падением напряжения, чья частота, а точнее – фаза определяется электрическим углом поворота вала двигателя со сдвигом, определяющим режим нейтральной коммутации.

Модель к численному эксперименту
"Опыт прямого включения в сеть ДПТ"

Модель к численному эксперименту
"Опыт прямого включения в сеть СДПТ"

Существенная разница в движении координат СДПМ и эквивалентного ему ДПТ в опыте прямого включения в сеть объясняется падением напряжения на индуктивности статорной обмотки СДПМ. Подтверждает это утверждение численный расчет естественных механических характеристик, который можно выполнить, запустив представленные на чертежах 3 и 4 модели.

Модель для расчета естественной
механической характеристики ДПТ

Естественная механическая характеристика СДПМ неоднозначная. Она зависит от величины угла коммутации, который можно менять, выполняя эксперименты с соответствующей моделью (чертёж 4).

Модель для расчета естественной
механической характеристики СДПМ

Четыре модели, представленные на чертеже 5, приведены для пояснения наиболее важного вывода статьи о том, что для любого ВД существует граничная скорость изменения электрического угла поворота вала $ω_г≥0.5/T_a$, при превышении которой затухание амплитуды собственного переходного процесса цепи статора за период станет меньше 100 %. В верхней части чертежа, на интеграторе угла составлен генератор синусоиды, чьи параметры очевидны. Блок-схему, состоящую из двух интеграторов, следует воспринимать как замкнутую систему с отрицательной обратной связью и запасом по фазе нулевой величины. Такая система должна находиться на границе устойчивости. И, при наличии ненулевого начального условия (установленного на первом интеграторе), должна совершать колебательные движения. Ниже представлен генератор затухающих колебаний, построенный аналогичным образом, но на апериодических звеньях. Постоянная времени которых может быть произвольной, и, в частных случаях, быть равной электромагнитной постоянной цепи статора. Очевидно, что эта замкнутая система станет колебательной, когда коэффициент усиления контура будет больше единицы. Таки образом из критерия устойчивости формулируется утверждение о характере собственного переходного процесса в цепи статора ВД. Четвертая модель (dq-модель СДПМ) повторяет третью, но лишь нарисована иначе.

Модель, демонстрирующая собственный
переходный процесс цепи статора ВД

Запустите модель представленную на чертеже 5. Убедитесь в том, что осциллограммы сигналов подтверждают представленное выше по тексту пояснение. Обратите внимание на тот факт, что частота колебаний при затухании свободной составляющей переходного процесса цепи статора не меняется.

Уменьшите скорость изменения электрического угла поворота вала СДПМ в два раза. Убедитесь в том, что именно скорость вала СДПМ определяет частоту колебаний собственного переходного процесса цепи статора.

Воспользуйтесь формулой: $ω_г≥0.5/T_a$. Вычислите и установите граничную скорость вала СДПМ. Убедитесь в том, что затухание амплитуды собственного переходного процесса цепи статора за период равно 100 %.

Обратим внимание, что для данного двигателя частота вращения вала, при которой собственный переходный процесс цепи статора перестает быть апериодическим, в восемь раз меньше номинальной. Модель, представленная на чертеже 6, позволяет убедиться в том, что под контролем векторной системы управления с датчиками движение координат электропривода остается приемлемым в диапазоне ...

...

А вот для бездатчикового векторного электропривода, контроль движения координат которого осуществляется лишь на анализе состояния цепи статора, можно сформулировать рекомендацию ...

01.12.2014