Клиначёв Николай Васильевич
ICQ: 253060497
Клиначёва Наталья Васильевна

О способах формализации применения законов Ома и Кирхгофа
до уровня программных алгоритмов
(для программ математического моделирования поведения систем)

Теоретические Основы Электротехники являются базовой дисциплиной для многих специальностей высших учебных заведений. Но что же представляет собой эта наука? Для чего нужна? Почему так трудна для изучения? Попробуем дать ответы. К фундаментальному электротехническому знанию можно отнести закон Ома, сформулированный для RLC-элементов, и законы Кирхгофа. Но в любом учебнике ТОЭ – это лишь 20 листов. Эти законы хорошо знает любой выпускник вуза. Что же в учебниках является предметом мучений сотен тысяч студентов? Обратим внимание на формы записи закона Ома.

Закон Ома для электрических элементов

Очевидно, что если в электрических схемах встречаются катушки или конденсаторы, то соответствующее математическое описание будет содержать дифференциальные уравнения. Работать с ним – человеку – не имеющему компьютера (а именно такая ситуация существовала два столетия развития ТОЭ) сложно. Даже если схема состоит только из резисторов, то в типовой ситуации их так много, что даже алгебраическая система – не для человека вооруженного карандашом. По факту, ТОЭ, как область знаний, решает эту проблему. Почти все в этой дисциплине, кроме законов Ома и Кирхгофа – это математические фокусы разработанные для уменьшения количества вычислительных операций. Подобных вычислительных методов разработано много. Одни дают выигрыш в одной ситуации, другие – в другой; часто их нужно применять каскадно; многие жестко формализованы. Но человеческий мозг это не вычислитель с абсолютной и неограниченной памятью. Именно в этом заключается противоречие и проблемы студентов.

Современные персональные компьютеры, кардинально изменили ситуацию. Методы сокращения объемов вычислительных операций (для расчётов с карандашом) перестали быть актуальными. Возможно, спустя время, они будут забыты так же, как забыты методы построения Египетских Пирамид. Но сегодня за Теоретическими Основами Электротехники остался один долг. За два столетия своего развития эта наука не представила ни одного на 100 % формализованного метода, исключающего размышления исполнителя (например, компьютера) – человека всегда можно было заставить немного подумать.

Не смотря на то, что уже пару десятилетий, как применение законов Ома и Кирхгофа формализовано до уровня программных алгоритмов (в широко известных программах Spice-семейства) подавляющее большинство людей, и даже специалисты в теоретических основах электротехники не знают как это сделано. К сожалению, практически невозможно записать всю последовательность необходимых действий в стиле традиционного представления методов дисциплины ТОЭ. Так же невозможно воспользоваться языком блок-схем алгоритмов программ. Для пояснений разумной длительности не существует адекватного языка, и мы воспользуемся немного модифицированным языком электрических принципиальных схем (далее схем физических принципиальных), схем замещений, и математических блок-схем. Некоторые условные графические обозначения конфликтуют с традиционными. Просим обратить внимание.

Итак, если нам удастся представить универсальный алгоритм полной деинкапсуляции произвольной физической принципиальной схемы до уровня математической блок-схемы, то задачу формализации применения законов Ома и Кирхгофа можно считать решенной. Поскольку за каждым условным графическим обозначением математической функции стоит та или иная подпрограмма для робота-исполнителя (для компьютера), а последовательность исполнения подпрограмм жестко определена передачей аргументов в математической блок-схеме.

Любое изложение гипотезы или теории требует доказательств. В нашем случае требуется численный эксперимент. Он сложен. К сожалению даже ядро Simulink'а сегодня не поддерживает всех требуемых режимов работы дискретных квазианалогов интеграторов, т.к. описываемая техника построения моделей не применялась в ней ранее (передаточные функции в этой программе были всегда, а вот транзисторов не было). Графический язык Simulink'а так же не позволит сделать пояснения простыми. В тексте упоминается библиотека SimLib4Visio и математическое ядро K2.SimKernel – это разработанные авторами инструменты. В конце статьи приводится модель не сложной электрической схемы. Она деинкапсулируется вплоть до 360 математических блоков (функций). Чтобы читатель мог легко ориентироваться в них, кроме изложения метода мы приводим подробное описание базовых элементов библиотеки SimLib4Visio.

Введение

Модель технического устройства может быть представлена тремя способами: либо в виде блок-схемы (нижний уровень представления); либо в виде схемы замещения; либо в виде схемы физической принципиальной (представление верхнего уровня).

Роль схем замещения, как связывающей прослойки между схемами физическими принципиальными и соответствующими блок-схемами очень важна. Тем ни менее, из-за технических затруднений, задача представления в графической форме всех взаимосвязей между условным графическим обозначением технического устройства и его блок-схемой до конца не решена. Библиотека SimLib4Visio это первый инструмент демонстрирующий пути решения.

Классическая схема замещения может содержать лишь пять идеальных моделей, которым, с допущениями, соответствуют реально существующие технические устройства. Это RLC и EJ-элементы. На поле чертежа классической схемы замещения могут присутствовать математические формулы, уточняющие взаимосвязи между состоянием самой схемы замещения и параметрами ее элементов. Библиотека SimLib4Visio кроме RLC и EJ-элементов допускает появление в чертеже схемы замещения идеального диода (D-элемент), и, вместо математических формул, предлагает использование блок-схем. На рис. 1 приведен пример схемы замещения n-Mos транзистора.

Схема замещения n-Mos транзистора

Рис. 1. Схема замещения n-Mos транзистора. Щелчок мышью по элементам схемы замещения (в том числе по узлам) вызовет открытие окон с соответствующими блок-схемами

Завершая вводную часть, отметим, что, во-первых, переход от схем физических принципиальных к схемам замещения неоднозначен (одно техническое устройство может иметь множество схем замещения). А во-вторых, переход от схем замещения к блок-схемам тоже неоднозначен (известны модели RLC и EJ-элементов основанные на итерации токов, а так же на итерации потенциалов).

Направленные и бинаправленные проводники

Гибридный чертеж, состоящий из совокупности схем физических принципиальных и блок-схем – это новая концепция представления математических моделей. Первая особенность заключается в том, что на одном чертеже (см. рис. 1) одновременно присутствуют два типа связей, очень похожие внешне, но имеющие принципиальные отличия.

Связь первого типа (направленная) отличается тем, что на одном ее конце присутствует стрелка. Подобные связи определяют схему передачи возвращаемых значений между математическими функциями (на чертеже – между математическими блоками).

Связь второго типа предназначена для соединений узлов и элементов схемы физической принципиальной. Фактически, это графическое представление проводящей среды для энергонесущей материи (электрический проводник, магнитопровод, трубопровод, и т.д.). Состояние любого энергопреобразующего элемента определяется двумя физическими величинами, поэтому, альтернативно, проводники, о которых идет речь, можно воспринимать, как шину из двух проводников первого типа. По одному из проводников в шине передается информация об энергетическом потенциале, а по другому о токе энергетической материи (см. выводы у моделей на чертежах, которые появляются при щелчках мыши по элементам и по узлам схемы замещения на рис. 1). В зависимости от того, какой вариант моделей RLC и EJ-элементов используется для схем замещения, проводники в шине могут быть направлены в одну сторону или встречно. Т.к. модели, основанные на итерации потенциалов, в большинстве случаев требуют меньше вычислительных ресурсов и их можно деинкапсулировать до уровня блок-схемы, используются требуемые ими шины со встречными проводниками называемые бинаправленными.

Библиотека SimLib4Visio позволяет активировать подсветку для связей. Направленные вычерчиваются черным цветом. Бинаправленные (они же ненаправленные) – тёмно-синим.

Связывание блок-схем и схем физических принципиальных. Особенности условных графических обозначений пограничных элементов

Вторая особенность гибридных чертежей математических моделей заключена в том, что условные графические обозначения RLC и EJ-элементов могут варьироваться в зависимости от того являются ли элементы пограничными (между блок-схемой и схемой физической принципиальной) или нет. На рисунке 2 первый ряд УГО элементов особенностей не имеет. Второй ряд демонстрирует те же элементы, но их основной параметр (номинал сопротивления, номинал индуктивности, емкости, ...) можно контролировать направленным графом (блок-схемой). В третьем ряду демонстрируются элементы, чье состояние может быть передано направленному графу. Особенности УГО элементов в четвертом ряду теперь очевидны.

Особенности условных графических обозначений пограничных R, L, C и E, J-элементов в гибридно-графовых моделях

Рис. 2

Справа на рисунке показан пример гибридного графа (фрагмент модели). Здесь источник движущей силы контролируется выходом сумматора (направленным графом), а информация о состоянии схемы физической принципиальной (ток R-элемента) поступает на апериодическое звено первого порядка.

Резюме 1: Направленный и ненаправленный графы (блок-схемы и схемы физические принципиальные) предлагается связывать посредствам пяти идеализированных моделей RLC и EJ-элементов. Порядок применения любого элемента на пограничном участке одинаковый.

Резюме 2: RLC и EJ-элементы, используемые для связи ненаправленного и направленного графа могут иметь пять терминалов. Осевые терминалы – ассоциируются с выводами, которые имеют физически существующие элементы. Поперечные терминалы используются для контроля над параметром элемента (один вход) и его состоянием (два выхода). Состояние элементов определяется двумя физическими величинами первого и второго рода (например, ток и напряжение соответственно).

Примечание: При сборке гибридного графа нельзя соединять ненаправленные терминалы (выводы элементов) с направленными терминалами (входами / выходами математических блоков).

О соблюдении полярности включения пассивных RLC-элементов оборудованных датчиком тока и разности энергетических потенциалов

Обычно, при сборке модели с применением RLC и EJ-элементов, лишь для источников необходимо соблюдать полярность включения, поскольку пассивные элементы являются неполярными. Но если пассивный элемент является пограничным, то информация об его состоянии, снимаемая с контрольных терминалов, будет менять знак при изменении полярности подключения его выводов (см. рис. 3).

gif-file, 2KB

Рис. 3

Анализ рисунка позволяет сделать вывод, что для R-элемента условно-положительное направление тока таково, что контрольные выводы должны находится слева от направления движения энергетической материи. Такое же утверждение справедливо для всех пассивных пограничных элементов библиотеки SimLib4Visio. Для источников утверждение инверсное.

Резюме: Если в гибридно-графовой модели используется пассивный RLC-элемент с встроенным датчиком тока или разности энергетических потенциалов, то следует соблюдать полярность его включения.

Модели элементов схем замещений основанные на итерации токов в ветвях

Модели: R, L, C, E, J, Nodes, W

Основанные на итерации токов модели RLC и EJ-элементов выгодно использовать в случае, когда количество ветвей меньше, чем точек соединений элементов. Согласно статистике цепи с подобной конфигурацией встречаются реже.

Второй невыгодный факт, заключен в том, что для соединения таких моделей RLC и EJ-элементов нужны модели узлов двух типов – "узел распределяющий материю" и "узел аккумулирующий материю". Причем каждый из названных узлов является трехвыводным. Если же требуется узел, в котором соединяются более трех ветвей, его надо составлять из трехвыводных.

Еще один неприятный момент заключен в том, что не найдено решение, которое бы позволило создать модели RLC и EJ-элементов симметричными относительно их выводов (один вывод элемента должен быть подключен к распределяющему материю узлу, другой – к аккумулирующему).

Очевидно, что добавление каждой новой ветви в схему физическую принципиальную требует полной ревизии в ней типов узлов и ориентации подключения элементов, т.е. перестройки всей модели. Демонстрировать пользователю подобные трансформации в графическом интерфейсе моделирующей программы нецелесообразно. Таким образом полностью деинкапсулировать схему замещения до уровня статической блок-схемы невозможно.

В виду перечисленной совокупности технических проблем большинство математических ядер не поддерживает модели RLC и EJ-элементов с итерацией токов, а библиотека SimLib4Visio не имеет соответствующей документации. Более подробную информацию можно найти в электронном ресурсе: Клиначёв Н. В. "Основы моделирования систем или 7 доменов законов Ома и Кирхгофа: Избранные фрагменты", – доступном на сайте Model.Exponenta.Ru.

Модели элементов схем замещений основанные на итерации потенциалов в узлах

Модели: R, L, C, E, J, Node, W, d, VD

Модели RLC и EJ-элементов основанные на итерации потенциалов в узлах лишены всех недостатков моделей использующих итерацию токов. Простой эксперимент по уточнению времени расчета цепей: параллельной (один неизвестный потенциал либо множество неизвестных токов) и последовательной (один неизвестный ток либо множество неизвестных потенциалов), – позволяет выдвинуть предположение, что практически все программы для моделирования электроники (SPICE-семейство) имеют решатель использующий итерацию потенциалов.

Важный момент при работе с моделями RLC и EJ-элементов заключается в том, что не следует полагать, что это модели лишь электрических элементов. Прежде всего, это универсальные математические модели с идеальными свойствами, для которых достаточно изменить условное графическое обозначение, чтобы превратить их в фундаментальные элементы, используемые для преобразования других видов энергонесущей материи: магнитной, гидравлической, пневматической, тепловой, ротационной, механической.

Активное сопротивление (R-элемент)

Условные графические обозначения R-элемента

Активное сопротивление – это идеализированная математическая модель пассивного элемента энергоцепи, который безвозвратно преобразует энергию в другой вид. Активное сопротивление, как математическая модель, с оговариваемой погрешностью может представить такие технические устройства как: электрический резистор, пористый материал в гидравлической цепи, механический демпфер, блок сцепления в ротационной цепи, нешихтованное железо (магнитопровод с потерями) и т.д.

Условное графическое обозначение R-элемента может иметь четыре варианта различающиеся количеством терминалов. Для всех случаев обязательны два осевых вывода (полюсы элемента). Если R-элемент должен иметь варьируемый параметр (номинал), то, используя контекстное меню, следует добавить соответствующий вход. Если необходимо иметь доступ к координатам, характеризующим состояние R-элемента, то следует добавить два выхода датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Impedance (Сопротивление)

Сопротивление (номинал) R-элемента – величина противодействия, которую испытывает энергонесущая материя при движении по элементу. Сопротивление устанавливает связь между током (расходом) энергонесущей материи и разностью энергетических потенциалов, которая вызывает движение материи. Эта связь описывается одной из форм закона Ома.

Модель R-элемента показана на рис. 4. Из верхнего и нижнего шинных проводников, от моделей узлов, в блок-схему R-элемента, поступают величины потенциалов. Сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. Для вычисления тока выходной сигнал сумматора делится на параметр (на сопротивление элемента). Далее, величина тока возвращается в шинные проводники для передачи к моделям узлов. Причем, в один из узлов ток возвращается с инверсным знаком (раз из одного вытекает, значит в другой втекает). Но этот факт не превращает модель R-элемента в несимметричную относительно выводов. При смене полярности включения дополнительно меняется знак разности потенциалов (входы сумматора имеют разный знак), а двойная инверсия знака не может изменить общее состояние энергоцепи. Однако внутренние координаты модели i и u остаются чувствительными к полярности включения, и этот факт позволяет использовать их в качестве выходов датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Модель R-элемента с итерацией потенциалов

Рис. 4

Пример подключения R-элемента к управляемому источнику движущей силы и осциллограммы работы цепи показаны на рис. 5. В качестве тестового для проявления свойств элемента использован синусоидальный сигнал, по той причине, что любой периодический сигнал можно представить суперпозицией синусоидальных воздействий (разложить в ряд Фурье). На осциллограммах видно, что ток в R-элементе пропорционален разности энергетических потенциалов и меняется с ним в одной фазе, т.е. R-элемент не проявляет инерционных свойств. Дальнейший анализ показывает, что осциллограмма изменения мгновенной мощности p не меняет знак – это признак того факта, что энергия преобразуется в другой вид только в одном направлении (безвозвратно).

gif-file, 2KB

Рис. 5

Реактивное сопротивление индуктивного характера (L-элемент)

Условные графические обозначения L-элемента

Реактивное сопротивление индуктивного характера – это идеализированная математическая модель пассивного элемента энергоцепи, который на определенном временном участке способен накопить энергию (трансформировать ее в какой либо альтернативный вид), а затем полностью вернуть ее в цепь (осуществив реверсную трансформацию). Реактивное сопротивление индуктивного характера, как математическая модель, с оговариваемой погрешностью может представить такие технические устройства как: электрическая катушка, длинный трубопровод, механическая пружина, вал торсионной подвески, и т.д.

Условное графическое обозначение L-элемента может иметь четыре варианта различающиеся количеством терминалов. Для всех случаев обязательны два осевых вывода (полюсы элемента). Если L-элемент должен иметь варьируемый параметр (номинал), то, используя контекстное меню, следует добавить соответствующий вход. Если необходимо иметь доступ к координатам, характеризующим состояние L-элемента, то следует добавить два выхода датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Inductance (Индуктивность)

Индуктивность (номинал) L-элемента – величина противодействия, которую испытывает энергонесущая материя при движении по элементу. Индуктивность устанавливает связь между током (расходом) энергонесущей материи во времени и разностью энергетических потенциалов, которая вызывает движение материи. Эта связь описывается одной из форм закона Ома.

Модель L-элемента показана на рис. 6. Из верхнего и нижнего шинных проводников, от моделей узлов, в блок-схему L-элемента, поступают величины потенциалов. Сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. Для вычисления тока выходной сигнал сумматора интегрируется и делится на параметр (на индуктивность элемента). Далее, величина тока возвращается в шинные проводники для передачи к моделям узлов. Причем, в один из узлов ток возвращается с инверсным знаком (раз из одного вытекает, значит в другой втекает). Но этот факт не превращает модель L-элемента в несимметричную относительно выводов. При смене полярности включения дополнительно меняется знак разности потенциалов (входы сумматора имеют разный знак), а двойная инверсия знака не может изменить общее состояние энергоцепи. Однако внутренние координаты модели i и u остаются чувствительными к полярности включения, и этот факт позволяет использовать их в качестве выходов датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Модель L-элемента с итерацией потенциалов

Рис. 6

Пример подключения L-элемента к управляемому источнику движущей силы и осциллограммы работы цепи показаны на рис. 7. В качестве тестового для проявления свойств элемента использован синусоидальный сигнал, по той причине, что любой периодический сигнал можно представить суперпозицией синусоидальных воздействий (разложить в ряд Фурье). На осциллограммах видно, что ток в L-элементе увеличивается с тем большей скоростью, чем больше разность энергетических потенциалов. Причем, если бы разность потенциалов была бы постоянной, то ток рос бы до бесконечности. В случае же синусоидального воздействия ток отстает по фазе от разности потенциалов на 90 градусов, т.е., используя L-элемент, можно создать модели устройств проявляющие инерционные свойства. Дальнейший анализ показывает, что осциллограмма изменения мгновенной мощности p меняет знак, а ее среднее значение равно нулю. Это значит, что в L-элементе наблюдается колебательный процесс полностью обратимого преобразования энергии из одного вида в другой.

gif-file, 2KB

Рис. 7

Реактивное сопротивление емкостного характера (C-элемент)

Условные графические обозначения C-элемента

Реактивное сопротивление емкостного характера – это идеализированная математическая модель пассивного элемента энергоцепи, который на определенном временном участке способен накопить энергию (трансформировать ее в какой либо альтернативный вид), а затем полностью вернуть ее в цепь (осуществив реверсную трансформацию). Реактивное сопротивление емкостного характера, как математическая модель, с оговариваемой погрешностью может представить такие технические устройства как: электрический конденсатор, пневмо- или гидроцилиндр, теплопровод с большой теплоемкостью, инерционная масса в механике линейных перемещений, маховик в ротационной цепи, шихтованное железо (магнитопровод) и т.д.

Условное графическое обозначение C-элемента может иметь четыре варианта различающиеся количеством терминалов. Для всех случаев обязательны два осевых вывода (полюсы элемента). Если C-элемент должен иметь варьируемый параметр (номинал), то, используя контекстное меню, следует добавить соответствующий вход. Если необходимо иметь доступ к координатам, характеризующим состояние C-элемента, то следует добавить два выхода датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Capacitance (Емкость)

Емкость (номинал) C-элемента – величина противодействия, которую испытывает энергонесущая материя при движении по элементу. Емкость устанавливает связь между током (расходом) энергонесущей материи и во времени разностью энергетических потенциалов, которая вызывает движение материи. Эта связь описывается одной из форм закона Ома.

Модель C-элемента показана на рис. 8. Из верхнего и нижнего шинных проводников, от моделей узлов, в блок-схему C-элемента, поступают величины потенциалов. Сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. На дополнительный (верхний) вход сумматора поступает подбираемая величина уравниваемая блок-схемой с напряжением на элементе, поскольку на выходе сумматора должен наблюдаться нулевой баланс. Упомянутое напряжение (выходная координата интегратора) является функцией другой итерируемой с помощью блока unknown координаты – тока элемента, который, будучи поделенным на параметр (на емкость элемента), поступает на вход интегратора. Что соответствует закону Ома для C-элемента. Кроме того, величина тока возвращается в шинные проводники для передачи к моделям узлов. Причем, в один из узлов ток возвращается с инверсным знаком (раз из одного вытекает, значит в другой втекает). Но этот факт не превращает модель C-элемента в несимметричную относительно выводов. При смене полярности включения дополнительно меняется знак разности потенциалов (входы сумматора имеют разный знак), а двойная инверсия знака не может изменить общее состояние энергоцепи. Однако внутренние координаты модели i и u остаются чувствительными к полярности включения, и этот факт позволяет использовать их в качестве выходов датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Модель C-элемента с итерацией потенциалов

Рис. 8

Пример подключения C-элемента к управляемому источнику движущей силы и осциллограммы работы цепи показаны на рис. 9. В качестве тестового для проявления свойств элемента использован синусоидальный сигнал, по той причине, что любой периодический сигнал можно представить суперпозицией синусоидальных воздействий (разложить в ряд Фурье). На осциллограммах видно, что ток в C-элементе достигает максимума в те моменты, когда разность энергетических потенциалов меняется с наибольшей скоростью. Причем, если бы разность потенциалов изменилась мгновенно, то ток устремился бы к бесконечности. В случае же синусоидального воздействия ток опережает разность потенциалов по фазе на 90 градусов, т.е., используя C-элемент, можно создать модели устройств проявляющие инерционные свойства. Дальнейший анализ показывает, что осциллограмма изменения мгновенной мощности p меняет знак, а ее среднее значение равно нулю. Это значит, что в C-элементе наблюдается колебательный процесс полностью обратимого преобразования энергии из одного вида в другой.

gif-file, 2KB

Рис. 9

О комплементарном свойстве реактивных L и C-элементов.
Законы коммутации

Для проявления комплементарных свойств L и C-элементов совместим "напросвет" осциллограммы для описанных выше примеров подключения элементов к источнику движущей силы см. рис. 7, 9 и 10. Осциллограмма разности энергетических потенциалов совпала; токи меняются в противофазе. Это значит, что в тот момент, когда C-элемент должен вернуть энергонесущую материю в источник, она необходима L-элементу, и наоборот. Если способность накапливать энергию с определенной скоростью у идеальных L и C-элементов совпадет (совпадут модули сопротивлений), то будет наблюдаться резонанс токов при нулевом потреблении от источника.

gif-file, 2KB

Рис. 10. Осциллограммы для L и C-элементов совмещенные "напросвет"

Возможен так же резонанс разности энергетических потенциалов (напряжений), но элементы должны быть включены не параллельно, а последовательно. И сопротивление такой цепи будет стремиться не к бесконечности, а к нулю.

Для L и C-элементов сформулированы законы коммутации. Ток в L-элементе не может измениться мгновенно. Разность энергетических потенциалов в C-элементе не может измениться мгновенно. Нарушение законов не возможно, поскольку и в том, и другом случае, для подобных изменений требуется источник энергии, способный развить бесконечно большую мгновенную мощность (см. описание L и C-элементов).

Источник движущей силы (E-элемент)

Условные графические обозначения E-элемента

Источник движущей силы – это идеализированная математическая модель активного элемента энергоцепи – источника энергии, который преобразует энергию какого-либо вида в требуемый. Например, либо магнитную, либо тепловую, либо механическую, либо лучистую, и т.д. – в требуемую (в электрическую). Особенность источника движущей силы в том, что при любой нагрузке (при любом расходе энергонесущей материи) он обеспечивает неизменную разность энергетических потенциалов. Т.е. в случае, если сопротивление нагрузки стремиться к нулю (КЗ нагрузки) мгновенная мощность развиваемая источником устремится в бесконечность. Источник движущей силы, как математическая модель, с оговариваемой погрешностью может представить такие технические устройства как: аккумуляторная батарея, синхронная машина в режиме двигателя (источник ротационной энергии с постоянной угловой скоростью), катушка с током (источник магнитодвижущей силы) и т.д.

Условное графическое обозначение E-элемента может иметь четыре варианта различающиеся количеством терминалов. Для всех случаев обязательны два осевых вывода (полюсы элемента). Если E-элемент должен иметь варьируемый параметр (номинал), то, используя контекстное меню, следует добавить соответствующий вход. Если необходимо иметь доступ к координатам, характеризующим состояние E-элемента, то следует добавить два выхода датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Движущая сила

Движущая сила (номинал) E-элемента – величина разности энергетических потенциалов, которую источник поддерживает неизменной в любом режиме работы (при любом расходе энергонесущей матери).

Модель E-элемента показана на рис. 11. Из верхнего и нижнего шинных проводников, от моделей узлов, в блок-схему E-элемента, поступают величины потенциалов. Первый сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. Второй сумматор используется для итеративного уравнивания вычисленного напряжения с заданным значением, которое поступает с блока const (на выходе этого сумматора должен наблюдаться нулевой баланс). На величину уравниваемой разности потенциалов влияет другая итерируемая с помощью блока unknown координата – ток элемента, которая через шинные проводники передается к моделям узлов и влияет на разницу потенциалов. Причем, в один из узлов ток возвращается с инверсным знаком (раз из одного вытекает, значит в другой втекает). Если сравнить модель источника, с моделями пассивных элементов, то можно заметить, что инверсии подвергается знак тока в другом шинном проводнике. Это объясняется тем фактом, что для активных и пассивных элементов условно положительное направление тока разное.

Модель E-элемента с итерацией потенциалов

Рис. 11

Источник тока энергонесущей материи (J-элемент)

Условные графические обозначения J-элемента

Источник тока энергонесущей материи – это идеализированная математическая модель активного элемента энергоцепи – источника энергии, который преобразует энергию какого-либо вида в требуемый. Например, либо магнитную, либо тепловую, либо механическую, либо лучистую, и т.д. – в требуемую (в электрическую). Особенность источника тока в том, что при любой разности энергетических потенциалов (при любой нагрузке) он обеспечивает неизменный расход энергонесущей материи. Т.е. в случае, если сопротивление нагрузки стремиться к бесконечности, мгновенная мощность развиваемая источником устремится в бесконечность. Источник тока, как математическая модель, с оговариваемой погрешностью может представить такие технические устройства как: солнечная батарея, водяное колесо (источник ротационной энергии с постоянным моментом), поршневой компрессор с приводом от синхронной машины и т.д.

Условное графическое обозначение J-элемента может иметь четыре варианта различающиеся количеством терминалов. Для всех случаев обязательны два осевых вывода (полюсы элемента). Если J-элемент должен иметь варьируемый параметр (номинал), то, используя контекстное меню, следует добавить соответствующий вход. Если необходимо иметь доступ к координатам, характеризующим состояние J-элемента, то следует добавить два выхода датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Ток (расход)

Ток (номинал) J-элемента – количество энергонесущей материи, которое источник приводит в движение в цепи за единицу времени в любом режиме работы (при любой разности энергетических потенциалов).

Модель J-элемента показана на рис. 12. Из верхнего и нижнего шинных проводников, от моделей узлов, в блок-схему J-элемента, поступают величины потенциалов. Сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. Выходная координата блока const (ток элемента) через шинные проводники передается к моделям узлов. Причем, в один из узлов ток передается с инверсным знаком (раз из одного вытекает, значит в другой втекает). Если сравнить модель источника, с моделями пассивных элементов, то можно заметить, что инверсии подвергается знак тока в другом шинном проводнике. Это объясняется тем фактом, что для активных и пассивных элементов условно положительное направление тока разное.

Модель J-элемента с итерацией потенциалов

Рис. 12

Узел энергоцепи

Условное графическое обозначение узла энергоцепи

Узел энергоцепи – это место разветвления энергонесущей материи. Процесс разветвления подчиняется постулату о сохранении материи.

Условное графическое обозначение узла энергоцепи – это точка в месте соединения элементов на схеме физической принципиальной. Библиотека SimLib4Visio предполагает возможность подключения к узлу от двух до четырех элементов, что определено количеством коннектеров узла (синие крестики на рисунке). Это ограничение лишь текущей версии графического интерфейса, а не самой модели узла.

Модель узла энергоцепи показана на рис. 13. Как видно, она является свободно масштабируемой (количество шинных проводников поступающих от элементов цепи может быть любым). Важен так же тот факт, что в отличие от моделей узлов осуществляющих итерацию токов (речь об альтернативной технике построения моделей), данная модель (с итерацией потенциала) имеет одинаковые (взаимозаменяемые) выводы. Из каждого шинного проводника на сумматор, поступает информация о токе элементов подключенных к узлу. На выходе сумматора должен наблюдаться нулевой баланс, что отвечает требованию постулата о сохранении энергонесущей материи. Баланс обеспечивается итерацией потенциала узла с помощью блока unknown, выходной сигнал которого поступает ко всем подключенным к узлу моделям элементов энергоцепи. Вариация потенциала узла вызывает вариацию токов элементов, тем и достигается нулевой баланс.

Модель узла энергоцепи с итерацией потенциала

Рис. 13

Сравним по блок-схемам терминалы шинных проводников у моделей узлов и у моделей элементов. Все модели элементов (RLC и EJ) имеют одинаковые терминалы шинных проводников – от модели в шину поступает координата тока, а из шины к модели передается координата потенциала. Таким образом, модели элементов невозможно соединить между собой. Ответным для терминалов элементов является только терминал узла. В частном случае это приводит к тому, что место соединения двух элементов, в котором не происходит ответвление энергонесущей материи, при математическом моделировании должно быть представлено моделью узла (см. наличие узла в точке соединения источника с потребителем на рис. 5, 7, 9).

Идеальный математический диод (D-элемент)

Условные графические обозначения D-элемента

Идеальный или математический диод – это идеализированная математическая модель пассивного элемента энергоцепи, который беспрепятственно пропускает энергонесущую материю в одном (в прямом) направлении и не пропускает или оказывает очень большое сопротивление её движению в обратном направлении. Идеальный диод, как математическая модель, с оговариваемой погрешностью может представить такие технические устройства как: электрический диод, обратный клапан в гидравлической цепи, подпружиненные замки-защелки в линейных и ротационных цепях (обеспечивающие передачу усилия или момента лишь в одном направлении) и т.д.

Условное графическое обозначение D-элемента может иметь два варианта различающиеся количеством терминалов. Для обоих случаев обязательны два осевых вывода (полюсы элемента). Если необходимо иметь доступ к координатам, характеризующим состояние D-элемента, то следует добавить два выхода датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Rdb

Сопротивление диода для обратного тока. Для данной модели можно назначить номинал параметра Rdb стремящийся к бесконечности. Это не вызовет проблем у итерационного решателя математических ядер.

Rd

Дифференциальное сопротивление диода – это сопротивление для прямого тока. Для данной модели можно назначить номинал параметра Rd равный нулю. Это не вызовет проблем у итерационного решателя математических ядер.

Модель математического диода является кусочно-линейной (в обобщённом случае нелинейной). Поэтому возникает возможность её альтернативных реализаций. Первое решение напрашивается. Диод строят на параметрической модели R-элемента. Действительно, достаточно следить за знаком разности потенциалов или за направлением тока и переключать номинал. Однако такая модель конфликтует с методическим ограничением итерационного решателя математических ядер в случае если Rd → 0 или Rdb → ∞. Причина заключена в том, что использовать только разность потенциалов для переключений нельзя – на прямом участке характеристики она колеблется в итерациях вокруг нуля (погрешность решателя). Ток нельзя использовать на обратном участке по той же причине. Ситуация усложняется тем, что идея построения моделей на основе итерации потенциалов накладывает свое ограничение – ток должен быть сформирован самой моделью элемента. Получается ситуация, в которой модель диода должна сама формировать ток и сама себя переключать.

Подсказка к решению задачи о построении модели математического диода прозвучала. Для переключений надо использовать разность потенциалов на обратном участке характеристики, ток – на прямом. Но этого не достаточно. Требуется еще одно новое решение, которое ни когда не встречается при построении линейных моделей. Выходной сигнал какого либо блока в линейной математической модели может ассоциироваться с какой либо координатой физического устройства и ни как не получиться ассоциировать один сигнал с двумя разными физическими величинами. Но при построении кусочно-линейных моделей подобное возможно.

Модель D-элемента показана на рис. 14. Согласно сказанному, ключом к пониманию принципа построения модели является тот факт, что когда выходной сигнал блока unknown меньше нуля он ассоциируется с обратным напряжением на элементе, в противном случае – с прямым током.

Если математическое ядро находит баланс при положительном значении сигнала на выходе блока unknown, то состояние модели расшифровывается следующим образом. На выходе компаратора будет логический ноль и мультиплексоры будут пропускать сигналы со среднего входа. Таким образом выходной сигнал блока unknown – прямой ток диода – через правый мультиплексор будет возвращён в шинные проводники для передачи к моделям узлов, а через левый мультиплексор прямое падение напряжения (полученное по закону Ома умножением тока на параметр Rd) поступит на верхний сумматор для итерационного уравнивания с поступающей с узлов разностью потенциалов вычисленной нижним сумматором.

Если математическое ядро находит баланс при отрицательном значении сигнала на выходе блока unknown, то состояние модели расшифровывается следующим образом. На выходе компаратора будет логическая единица и мультиплексоры будут пропускать сигналы с нижнего входа. Таким образом выходной сигнал блока unknown – обратное напряжение на диоде – через левый мультиплексор поступит на верхний сумматор для итерационного уравнивания с поступающей с узлов разностью потенциалов вычисленной нижним сумматором, а через правый мультиплексор обратный ток диода (полученный по закону Ома делением напряжения на параметр Rdb) будет возвращён в шинные проводники для передачи к моделям узлов.

Модель D-элемента с итерацией потенциалов

Рис. 14

И в том и в другом случае, к одному из узлов ток возвращается с инверсным знаком (раз из одного вытекает, значит в другой втекает). Возможны вариации представленной блок-схемы. Например, при построении моделей более сложных устройств, на один из двух контрольных выходов удобней подавать не разность энергетических потенциалов u, а выходную координату компаратора, которая (в отличие от координат i и u) однозначно свидетельствует о том, на каком участке характеристики работает модель.

Унарный ввод в бинаправленную шину (B2W-элемент)

Условное графическое обозначение конвертера направленных и бинаправленных связей

B2W-элемент – это терминал бинаправленной шины, для того ее конца, который подходит от узла к элементу. Он используется для графического представления деинкапсулированных до уровня блок-схемы моделей элементов схем замещений или физических устройств (см. рисунки 4, 6, 8, 11, 12, 14, но не 13). Типовой ситуацией применения B2W-элемента является отладка новой модели физического устройства или разработка альтернативной для "зашитой" в математическом ядре. При использовании элемента к направленным терминалам следует корректно подключать координаты тока и энергетического потенциала (см. примеры выше; вводная информация там же).

Пример полной деинкапсуляции электрической принципиальной схемы до уровня математической блок-схемы и численный эксперимент

На рисунке 15 приведена упрощенная схема-модель трехвыводного линейного интегрального стабилизатора напряжения на пять вольт с низким падением напряжения на силовом транзисторе. Стабилизатор подключен к неуправляемому мостовому выпрямителю. Для снятия динамической внешней характеристики используется программируемая нагрузка, чье сопротивление линейно и периодически уменьшается от 50 до 0 Ом. Модель стабилизатора построена с помощью библиотеки SimLib4Visio и отлажена с применением математического ядра K2.SimKernel. Результаты симуляции, в виде характерных осциллограмм, приведены – особых сомнений не вызывают.

gif-file, 2KB
 

Рис. 15. Схема стабилизатора напряжения. Щелчок мышью по обозначениям технических устройств (в том числе по узлам) вызовет открытие окон с соответствующими схемами замещения или блок-схемами. Элементы схем замещения транзисторов и трансформатора тем же способом можно деинкапсулировать до уровня математической блок-схемы

Простота электрической схемы обманчива. Статистика такова. Деинкапсулированная до блок-схемы модель содержит 364 математических блока; 11 из них – интеграторы; количество алгебраических неизвестных 30; датчиков баланса 31; размер якобиана 42; 17 каскадов функций. Расчет можно распараллелить на 53 вычислительных ядра микропроцессора. Время расчета процессором Mobile AMD Sempron 3100+ осциллограммы из двух тысяч точек – 4 секунды.

Другими словами, с одной стороны схему можно отнести к среднестатистической по количеству элементов – инженеры электронщики редко отлаживают модули большего масштаба. С другой стороны размер программного кода, который обеспечивает симуляцию модели схемы, достаточно велик, и если бы ошибки в методике формализации применения законов Ома и Кирхгофа были, то вероятней всего они бы проявили себя.

Имеются следующие особенности у деинкапсулированных фрагментов, которые демонстрируются при осуществлении щелчков мышью по обозначениям технических устройств схемы. Вместо схемы замещения p-n-p транзистора демонстрируется схема замещения n-p-n транзистора. Вне зависимости от количества ветвей входящих в узел демонстрируется блок-схема трехвыводного узла (выше пояснено, что она является масштабируемой). В субмоделях отображены не все узлы-модели. Символ заземления так же является узлом схемы и соответствующая блок-схема демонстрируется, но она отличается от фактической – в действительности блок unknown в ней замещен блоком const с параметром равным нулю (потенциал этого узла равен нулю). Перечисленные отклонения от фактической модели не мешают разобраться с деталями представленного алгоритма формализации применения законов Ома и Кирхгофа, используемого программами математического моделирования.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Клиначёв Н. В. Основы моделирования систем или 7 доменов законов Ома и Кирхгофа: Избранные фрагменты. – Offline версия 3.6. – Челябинск, 2000-2005. – 88 файлов, ил.
    – Website: http://model.exponenta.ru/oms_lec.html.
  2. Клиначёв Н. В., Клиначёва Н. В. Библиотека SimLib4Visio и математическое ядро K2.SimKernel. – Website: http://model.exponenta.ru/simlib.html.

14.09.2006